MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwslmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwslmod 19183
Description: The product of a family of left modules is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwslmod.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
Assertion
Ref Expression
pwslmod ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)

Proof of Theorem pwslmod
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwslmod.y . . 3 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
2 eqid 2771 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
31, 2pwsval 16354 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4 eqid 2771 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
52lmodring 19081 . . . 4 (𝑅 ∈ LMod → (Scalar‘𝑅) ∈ Ring)
65adantr 466 . . 3 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ Ring)
7 simpr 471 . . 3 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑉)
8 fconst6g 6235 . . . 4 (𝑅 ∈ LMod → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶LMod)
98adantr 466 . . 3 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶LMod)
10 fvconst2g 6614 . . . . 5 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1110adantlr 694 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1211fveq2d 6337 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (Scalar‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Scalar‘𝑅))
134, 6, 7, 9, 12prdslmodd 19182 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ LMod)
143, 13eqeltrd 2850 1 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {csn 4317   × cxp 5248  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  Scalarcsca 16152  Xscprds 16314  s cpws 16315  Ringcrg 18755  LModclmod 19073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075
This theorem is referenced by:  pwsdiaglmhm  19270  pwssplit3  19274  frlm0  20315  frlmsubgval  20325  frlmgsum  20328  frlmsplit2  20329  pwssplit4  38185  pwslnmlem0  38187
  Copyright terms: Public domain W3C validator