Theorem pwsle 16374

Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsle.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsle.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o	⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsle	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem pwsle

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3343	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
2		vex 3343	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
3	1, 2	prss 4496	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
4		pwsle.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		pwsle.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
6		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
7	5, 6	pwsval 16368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8	7	fveq2d 6357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
9	4, 8	syl5eq 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
10	9	sseq2d 3774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
11	3, 10	syl5bb 272	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
12	11	anbi1d 743	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))))
13		simpll 807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
14		fvconst2g 6632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
15	13, 14	sylan 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
16	15	fveq2d 6357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (le‘𝑅))
17		pwsle.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
18	16, 17	syl6eqr 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑂)
19	18	breqd 4815	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥)𝑂(𝑔‘𝑥)))
20	19	ralbidva 3123	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)𝑂(𝑔‘𝑥)))
21		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22		simplr 809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
23		simprl 811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
24	5, 21, 4, 13, 22, 23	pwselbas 16371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅))
25		ffn 6206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝑓 Fn 𝐼)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑓 Fn 𝐼)
27		simprr 813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
28	5, 21, 4, 13, 22, 27	pwselbas 16371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔:𝐼⟶(Base‘𝑅))
29		ffn 6206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝑔 Fn 𝐼)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → 𝑔 Fn 𝐼)
31		inidm 3965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
32		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
33		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑥))
34	26, 30, 22, 22, 31, 32, 33	ofrfval 7071	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (𝑓 ∘𝑟 𝑂𝑔 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)𝑂(𝑔‘𝑥)))
35	20, 34	bitr4d 271	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ 𝑓 ∘𝑟 𝑂𝑔))
36	35	pm5.32da 676	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∘𝑟 𝑂𝑔)))
37		brinxp2 5337	. . . . . 6 ⊢ (𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔 ↔ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∘𝑟 𝑂𝑔))
38		df-3an 1074	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∘𝑟 𝑂𝑔) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∘𝑟 𝑂𝑔))
39	37, 38	bitri 264	. . . . 5 ⊢ (𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔 ↔ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑓 ∘𝑟 𝑂𝑔))
40	36, 39	syl6bbr 278	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
41	12, 40	bitr3d 270	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
42	41	opabbidv 4868	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
43		pwsle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
44	7	fveq2d 6357	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (le‘𝑌) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
45	43, 44	syl5eq 2806	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
46		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
47		fvexd 6365	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
48		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
49		snex 5057	. . . . 5 ⊢ {𝑅} ∈ V
50		xpexg 7126	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
51	48, 49, 50	sylancl 697	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
52		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
53		snnzg 4451	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → {𝑅} ≠ ∅)
54	53	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑅} ≠ ∅)
55		dmxp 5499	. . . . 5 ⊢ ({𝑅} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
56	54, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
57		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
58	46, 47, 51, 52, 56, 57	prdsle 16344	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
59	45, 58	eqtrd 2794	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
60		inss2 3977	. . . . 5 ⊢ ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (𝐵 × 𝐵)
61		relxp 5283	. . . . 5 ⊢ Rel (𝐵 × 𝐵)
62		relss 5363	. . . . 5 ⊢ (( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (𝐵 × 𝐵) → (Rel (𝐵 × 𝐵) → Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))))
63	60, 61, 62	mp2 9	. . . 4 ⊢ Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))
64	63	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
65		dfrel4v 5742	. . 3 ⊢ (Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
66	64, 65	sylib 208	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
67	42, 59, 66	3eqtr4d 2804	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804  {copab 4864   × cxp 5264  dom cdm 5266  Rel wrel 5271   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ∘_𝑟 cofr 7062  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166  lecple 16170  X_scprds 16328   ↑_s cpws 16329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-prds 16330  df-pws 16332

This theorem is referenced by:  pwsleval  16375