Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsle 16374
 Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsle.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsle.v 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l = (le‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwsle ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem pwsle
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3343 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
2 vex 3343 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
31, 2prss 4496 . . . . . 6 ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
4 pwsle.v . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 pwsle.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
6 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
75, 6pwsval 16368 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
87fveq2d 6357 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
94, 8syl5eq 2806 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
109sseq2d 3774 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
113, 10syl5bb 272 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
1211anbi1d 743 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))))
13 simpll 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑅𝑉)
14 fvconst2g 6632 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1513, 14sylan 489 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1615fveq2d 6357 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (le‘𝑅))
17 pwsle.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = (le‘𝑅)
1816, 17syl6eqr 2812 . . . . . . . . 9 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑂)
1918breqd 4815 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
2019ralbidva 3123 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
21 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼𝑊)
23 simprl 811 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
245, 21, 4, 13, 22, 23pwselbas 16371 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅))
25 ffn 6206 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝑓 Fn 𝐼)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 Fn 𝐼)
27 simprr 813 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
285, 21, 4, 13, 22, 27pwselbas 16371 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔:𝐼⟶(Base‘𝑅))
29 ffn 6206 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝑔 Fn 𝐼)
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 Fn 𝐼)
31 inidm 3965 . . . . . . . 8 (𝐼𝐼) = 𝐼
32 eqidd 2761 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
33 eqidd 2761 . . . . . . . 8 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
3426, 30, 22, 22, 31, 32, 33ofrfval 7071 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝑟 𝑂𝑔 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)𝑂(𝑔𝑥)))
3520, 34bitr4d 271 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥) ↔ 𝑓𝑟 𝑂𝑔))
3635pm5.32da 676 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑓𝑟 𝑂𝑔)))
37 brinxp2 5337 . . . . . 6 (𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔 ↔ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝑓𝑟 𝑂𝑔))
38 df-3an 1074 . . . . . 6 ((𝑓𝐵𝑔𝐵𝑓𝑟 𝑂𝑔) ↔ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑓𝑟 𝑂𝑔))
3937, 38bitri 264 . . . . 5 (𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔 ↔ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑓𝑟 𝑂𝑔))
4036, 39syl6bbr 278 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
4112, 40bitr3d 270 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔))
4241opabbidv 4868 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
43 pwsle.l . . . 4 = (le‘𝑌)
447fveq2d 6357 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (le‘𝑌) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
4543, 44syl5eq 2806 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
46 eqid 2760 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
47 fvexd 6365 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
48 simpr 479 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
49 snex 5057 . . . . 5 {𝑅} ∈ V
50 xpexg 7126 . . . . 5 ((𝐼𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
5148, 49, 50sylancl 697 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
52 eqid 2760 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
53 snnzg 4451 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → {𝑅} ≠ ∅)
5453adantr 472 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑅} ≠ ∅)
55 dmxp 5499 . . . . 5 ({𝑅} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
5654, 55syl 17 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
57 eqid 2760 . . . 4 (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
5846, 47, 51, 52, 56, 57prdsle 16344 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (le‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))})
5945, 58eqtrd 2794 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑔𝑥))})
60 inss2 3977 . . . . 5 ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (𝐵 × 𝐵)
61 relxp 5283 . . . . 5 Rel (𝐵 × 𝐵)
62 relss 5363 . . . . 5 (( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ⊆ (𝐵 × 𝐵) → (Rel (𝐵 × 𝐵) → Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))))
6360, 61, 62mp2 9 . . . 4 Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))
6463a1i 11 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
65 dfrel4v 5742 . . 3 (Rel ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
6664, 65sylib 208 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ 𝑓( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝑔})
6742, 59, 663eqtr4d 2804 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804  {copab 4864   × cxp 5264  dom cdm 5266  Rel wrel 5271   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ∘𝑟 cofr 7062  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166  lecple 16170  Xscprds 16328   ↑s cpws 16329 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-prds 16330  df-pws 16332 This theorem is referenced by:  pwsleval  16375
 Copyright terms: Public domain W3C validator