MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiaglmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsdiaglmhm 19269
Description: Diagonal homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiaglmhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsdiaglmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsdiaglmhm.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
pwsdiaglmhm ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwsdiaglmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsdiaglmhm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2770 . 2 ( ·𝑠𝑅) = ( ·𝑠𝑅)
3 eqid 2770 . 2 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
4 eqid 2770 . 2 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
5 eqid 2770 . 2 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
6 eqid 2770 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑅)) = (Base‘(Scalar‘𝑅))
7 simpl 468 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ LMod)
8 pwsdiaglmhm.y . . 3 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
98pwslmod 19182 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
108, 4pwssca 16363 . . 3 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑌))
1110eqcomd 2776 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑅))
12 lmodgrp 19079 . . 3 (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
13 pwsdiaglmhm.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐼 × {𝑥}))
148, 1, 13pwsdiagghm 17895 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
1512, 14sylan 561 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑌))
16 simplr 744 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝐼𝑊)
171, 4, 2, 6lmodvscl 19089 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18173expb 1112 . . . . 5 ((𝑅 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
1918adantlr 686 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
2013fvdiagfn 8055 . . . 4 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
2116, 19, 20syl2anc 565 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
2213fvdiagfn 8055 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
2322ad2ant2l 732 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) = (𝐼 × {𝑏}))
2423oveq2d 6808 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐹𝑏)) = (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐼 × {𝑏})))
25 eqid 2770 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
26 simpll 742 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ LMod)
27 simprl 746 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)))
288, 1, 25pwsdiagel 16364 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
2928adantrl 687 . . . . 5 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐼 × {𝑏}) ∈ (Base‘𝑌))
308, 25, 2, 3, 4, 6, 26, 16, 27, 29pwsvscafval 16361 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐼 × {𝑏})) = ((𝐼 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑅)(𝐼 × {𝑏})))
31 id 22 . . . . . 6 (𝐼𝑊𝐼𝑊)
32 vex 3352 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐼𝑊𝑎 ∈ V)
34 vex 3352 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝐼𝑊𝑏 ∈ V)
3631, 33, 35ofc12 7068 . . . . 5 (𝐼𝑊 → ((𝐼 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
3736ad2antlr 698 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝐼 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑅)(𝐼 × {𝑏})) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
3824, 30, 373eqtrd 2808 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐹𝑏)) = (𝐼 × {(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)}))
3921, 38eqtr4d 2807 . 2 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑅)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑅)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠𝑌)(𝐹𝑏)))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 39islmhmd 19251 1 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ (𝑅 LMHom 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349  {csn 4314  cmpt 4861   × cxp 5247  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑓 cof 7041  Basecbs 16063  Scalarcsca 16151   ·𝑠 cvsca 16152  s cpws 16314  Grpcgrp 17629   GrpHom cghm 17864  LModclmod 19072   LMHom clmhm 19231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-hom 16173  df-cco 16174  df-0g 16309  df-prds 16315  df-pws 16317  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-ghm 17865  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-lmod 19074  df-lmhm 19234
This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  38181
  Copyright terms: Public domain W3C validator