Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsbas 16349
 Description: Base set of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsbas.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsbas.f 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
pwsbas ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐵𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))

Proof of Theorem pwsbas
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsbas.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
2 eqid 2760 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
31, 2pwsval 16348 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
43fveq2d 6356 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
5 eqid 2760 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
6 fvexd 6364 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
7 simpr 479 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
8 snex 5057 . . . . 5 {𝑅} ∈ V
9 xpexg 7125 . . . . 5 ((𝐼𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
107, 8, 9sylancl 697 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
11 eqid 2760 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
12 snnzg 4451 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → {𝑅} ≠ ∅)
1312adantr 472 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑅} ≠ ∅)
14 dmxp 5499 . . . . 5 ({𝑅} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
165, 6, 10, 11, 15prdsbas 16319 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = X𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)))
17 fvconst2g 6631 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1817fveq2d 6356 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
1918ralrimiva 3104 . . . . 5 (𝑅𝑉 → ∀𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
2019adantr 472 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ∀𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
21 ixpeq2 8088 . . . 4 (∀𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅) → X𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → X𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
2316, 22eqtrd 2794 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = X𝑥𝐼 (Base‘𝑅))
24 fvex 6362 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
25 ixpconstg 8083 . . . 4 ((𝐼𝑊 ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → X𝑥𝐼 (Base‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
267, 24, 25sylancl 697 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → X𝑥𝐼 (Base‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
27 pwsbas.f . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2827oveq1i 6823 . . 3 (𝐵𝑚 𝐼) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼)
2926, 28syl6eqr 2812 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → X𝑥𝐼 (Base‘𝑅) = (𝐵𝑚 𝐼))
304, 23, 293eqtrrd 2799 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐵𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  Vcvv 3340  ∅c0 4058  {csn 4321   × cxp 5264  dom cdm 5266  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↑𝑚 cmap 8023  Xcixp 8074  Basecbs 16059  Scalarcsca 16146  Xscprds 16308   ↑s cpws 16309 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-hom 16168  df-cco 16169  df-prds 16310  df-pws 16312 This theorem is referenced by:  pwselbasb  16350  pwssnf1o  16360  pwsdiagmhm  17570  pwsco1rhm  18940  pwsco2rhm  18941  evls1val  19887  evls1rhmlem  19888  evl1val  19895  frlmbas  20301  frlmsubgval  20310  repwsmet  33946  rrnequiv  33947  pwslnmlem0  38163
 Copyright terms: Public domain W3C validator