MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pws1 18787
Description: Value of the ring unit in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pws1.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pws1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
pws1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 1 }) = (1r𝑌))

Proof of Theorem pws1
StepHypRef Expression
1 pws1.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
2 eqid 2748 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
31, 2pwsval 16319 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
43fveq2d 6344 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r𝑌) = (1r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
5 eqid 2748 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
6 simpr 479 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑉)
7 fvexd 6352 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
8 fconst6g 6243 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Ring)
98adantr 472 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Ring)
105, 6, 7, 9prds1 18785 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (1r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
11 fn0g 17434 . . . . . . 7 0g Fn V
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 0g Fn V)
13 fnmgp 18662 . . . . . . 7 mulGrp Fn V
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → mulGrp Fn V)
15 ssv 3754 . . . . . . 7 ran mulGrp ⊆ V
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ran mulGrp ⊆ V)
17 fnco 6148 . . . . . 6 ((0g Fn V ∧ mulGrp Fn V ∧ ran mulGrp ⊆ V) → (0g ∘ mulGrp) Fn V)
1812, 14, 16, 17syl3anc 1463 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (0g ∘ mulGrp) Fn V)
19 df-ur 18673 . . . . . 6 1r = (0g ∘ mulGrp)
2019fneq1i 6134 . . . . 5 (1r Fn V ↔ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
2118, 20sylibr 224 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 1r Fn V)
22 elex 3340 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
2322adantr 472 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 ∈ V)
24 fcoconst 6552 . . . 4 ((1r Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(1r𝑅)}))
2521, 23, 24syl2anc 696 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(1r𝑅)}))
26 pws1.o . . . . 5 1 = (1r𝑅)
2726sneqi 4320 . . . 4 { 1 } = {(1r𝑅)}
2827xpeq2i 5281 . . 3 (𝐼 × { 1 }) = (𝐼 × {(1r𝑅)})
2925, 28syl6eqr 2800 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × { 1 }))
304, 10, 293eqtr2rd 2789 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 1 }) = (1r𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  Vcvv 3328  wss 3703  {csn 4309   × cxp 5252  ran crn 5255  ccom 5258   Fn wfn 6032  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  Scalarcsca 16117  0gc0g 16273  Xscprds 16279  s cpws 16280  mulGrpcmgp 18660  1rcur 18672  Ringcrg 18718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-hom 16139  df-cco 16140  df-0g 16275  df-prds 16281  df-pws 16283  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator