Theorem pwfi 8426

Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
pwfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem pwfi

Dummy variables 𝑚 𝑘 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8145	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑚)
2		pweq 4305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = ∅ → 𝒫 𝑚 = 𝒫 ∅)
3	2	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 ∅ ∈ Fin))
4		pweq 4305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 𝑘)
5	4	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑘 ∈ Fin))
6		pweq 4305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 suc 𝑘)
7		df-suc 5890	. . . . . . . . 9 ⊢ suc 𝑘 = (𝑘 ∪ {𝑘})
8	7	pweqi 4306	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 suc 𝑘 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘})
9	6, 8	syl6eq 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}))
10	9	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
11		pw0 4488	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
12		df1o2 7741	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 = {∅}
13	11, 12	eqtr4i 2785	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 ∅ = 1𝑜
14		1onn 7888	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
15		ssid 3765	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ⊆ 1𝑜
16		ssnnfi 8344	. . . . . . . 8 ⊢ ((1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ⊆ 1𝑜) → 1𝑜 ∈ Fin)
17	14, 15, 16	mp2an 710	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ Fin
18	13, 17	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Fin
19		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘})) = (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘}))
20	19	pwfilem 8425	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin)
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
22	3, 5, 10, 18, 21	finds1 7260	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝒫 𝑚 ∈ Fin)
23		pwen 8298	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑚 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚)
24		enfii 8342	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝑚 ∈ Fin ∧ 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
25	22, 23, 24	syl2an 495	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
26	25	rexlimiva 3166	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑚 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
27	1, 26	sylbi 207	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
28		pwexr 7139	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
29		canth2g 8279	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
30		sdomdom 8149	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
31	28, 29, 30	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
32		domfi 8346	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
33	31, 32	mpdan 705	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
34	27, 33	impbii 199	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ∪ cun 3713   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  suc csuc 5886  ωcom 7230  1_𝑜c1o 7722   ≈ cen 8118   ≼ cdom 8119   ≺ csdm 8120  Fincfn 8121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125

This theorem is referenced by:  mapfi  8427  r1fin  8809  dfac12k  9161  pwsdompw  9218  ackbij1lem5  9238  ackbij1lem9  9242  ackbij1lem10  9243  ackbij1lem14  9247  ackbij1b  9253  isfin1-2  9399  isfin1-3  9400  domtriomlem  9456  dominf  9459  dominfac  9587  gchhar  9693  omina  9705  gchina  9713  hashpw  13415  hashbclem  13428  qshash  14758  ackbijnn  14759  incexclem  14767  incexc  14768  incexc2  14769  hashbccl  15909  lagsubg2  17856  lagsubg  17857  orbsta2  17947  sylow1lem3  18215  sylow1lem5  18217  sylow2alem2  18233  sylow2a  18234  sylow2blem2  18236  sylow2blem3  18237  sylow3lem3  18244  sylow3lem4  18245  sylow3lem6  18247  pgpfac1lem5  18678  discmp  21403  cmpfi  21413  dis1stc  21504  1stckgenlem  21558  ptcmpfi  21818  fiufl  21921  musum  25116  qerclwwlknfi  27204  hasheuni  30456  coinfliplem  30849  ballotth  30908  erdszelem2  31481  kelac2lem  38136  pwinfig  38368