MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwdom 8153
Description: Injection of sets implies injection on power sets. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwdom (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem pwdom
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 4194 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝒫 𝐴 = 𝒫 ∅)
21breq1d 4695 . 2 (𝐴 = ∅ → (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ↔ 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
3 reldom 8003 . . . . . . 7 Rel ≼
43brrelexi 5192 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
5 0sdomg 8130 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
76biimpar 501 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
8 simpl 472 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐵)
9 fodomr 8152 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐴𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
107, 8, 9syl2anc 694 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴)
11 vex 3234 . . . . 5 𝑓 ∈ V
12 fopwdom 8109 . . . . 5 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵onto𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1311, 12mpan 706 . . . 4 (𝑓:𝐵onto𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1413exlimiv 1898 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐵onto𝐴 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
1510, 14syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
163brrelex2i 5193 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
17 pwexg 4880 . . . 4 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ V)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
19 0ss 4005 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐵
20 sspwb 4947 . . . 4 (∅ ⊆ 𝐵 ↔ 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵)
2119, 20mpbi 220 . . 3 𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵
22 ssdomg 8043 . . 3 (𝒫 𝐵 ∈ V → (𝒫 ∅ ⊆ 𝒫 𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵))
2318, 21, 22mpisyl 21 . 2 (𝐴𝐵 → 𝒫 ∅ ≼ 𝒫 𝐵)
242, 15, 23pm2.61ne 2908 1 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685  ontowfo 5924  cdom 7995  csdm 7996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000
This theorem is referenced by:  cdalepw  9056  gchpwdom  9530  gchaclem  9538  2ndcredom  21301
  Copyright terms: Public domain W3C validator