MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdandom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwcdandom 9691
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdandom (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))

Proof of Theorem pwcdandom
StepHypRef Expression
1 pwxpndom2 9689 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
2 df1o2 7726 . . . . . . 7 1𝑜 = {∅}
32xpeq2i 5276 . . . . . 6 (𝐴 × 1𝑜) = (𝐴 × {∅})
4 reldom 8115 . . . . . . . 8 Rel ≼
54brrelex2i 5299 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
6 0ex 4924 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
7 xpsneng 8201 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
85, 6, 7sylancl 574 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
93, 8syl5eqbr 4821 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 1𝑜) ≈ 𝐴)
109ensymd 8160 . . . 4 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × 1𝑜))
11 omex 8704 . . . . . . 7 ω ∈ V
12 ordom 7221 . . . . . . . 8 Ord ω
13 1onn 7873 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ ω
14 ordelss 5882 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → 1𝑜 ⊆ ω)
1512, 13, 14mp2an 672 . . . . . . 7 1𝑜 ⊆ ω
16 ssdomg 8155 . . . . . . 7 (ω ∈ V → (1𝑜 ⊆ ω → 1𝑜 ≼ ω))
1711, 15, 16mp2 9 . . . . . 6 1𝑜 ≼ ω
18 domtr 8162 . . . . . 6 ((1𝑜 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 1𝑜𝐴)
1917, 18mpan 670 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → 1𝑜𝐴)
20 xpdom2g 8212 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 1𝑜𝐴) → (𝐴 × 1𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
215, 19, 20syl2anc 573 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 1𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
22 endomtr 8167 . . . 4 ((𝐴 ≈ (𝐴 × 1𝑜) ∧ (𝐴 × 1𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
2310, 21, 22syl2anc 573 . . 3 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
24 cdadom2 9211 . . 3 (𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
25 domtr 8162 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
2625expcom 398 . . 3 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))))
2723, 24, 263syl 18 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))))
281, 27mtod 189 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4297  {csn 4316   class class class wbr 4786   × cxp 5247  Ord word 5865  (class class class)co 6793  ωcom 7212  1𝑜c1o 7706  cen 8106  cdom 8107   +𝑐 ccda 9191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-seqom 7696  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-oexp 7719  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-har 8619  df-cnf 8723  df-card 8965  df-cda 9192
This theorem is referenced by:  gchcdaidm  9692
  Copyright terms: Public domain W3C validator