MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdaen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwcdaen 9209
Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdaen ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Proof of Theorem pwcdaen
StepHypRef Expression
1 ovex 6823 . . 3 (𝐴 +𝑐 𝐵) ∈ V
21pw2en 8223 . 2 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵))
3 2on 7722 . . . 4 2𝑜 ∈ On
4 mapcdaen 9208 . . . 4 ((2𝑜 ∈ On ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)))
53, 4mp3an1 1559 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)))
6 pw2eng 8222 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴))
7 pw2eng 8222 . . . . 5 (𝐵𝑊 → 𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜𝑚 𝐵))
8 xpen 8279 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜𝑚 𝐵)) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)))
96, 7, 8syl2an 583 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)))
10 enen2 8257 . . . 4 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)) → ((2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵))))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵))))
125, 11mpbird 247 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
13 entr 8161 . 2 ((𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ∧ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵)) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
142, 12, 13sylancr 575 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2145  𝒫 cpw 4297   class class class wbr 4786   × cxp 5247  Oncon0 5866  (class class class)co 6793  2𝑜c2o 7707  𝑚 cmap 8009  cen 8106   +𝑐 ccda 9191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-cda 9192
This theorem is referenced by:  pwcda1  9218  pwcdadom  9240  canthp1lem1  9676  gchxpidm  9693  gchhar  9703
  Copyright terms: Public domain W3C validator