MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdadom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwcdadom 9240
Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 9705. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdadom (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)

Proof of Theorem pwcdadom
StepHypRef Expression
1 canthwdom 8640 . . . 4 ¬ 𝒫 𝐴* 𝐴
2 0elpw 4965 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴)
32n0ii 4070 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) = ∅
4 dom0 8244 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅ ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) = ∅)
53, 4mtbir 312 . . . . . . . . 9 ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅
6 cdafn 9193 . . . . . . . . . . . 12 +𝑐 Fn (V × V)
7 fndm 6130 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑐 Fn (V × V) → dom +𝑐 = (V × V))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 dom +𝑐 = (V × V)
98ndmov 6965 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ∅)
109breq2d 4798 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅))
115, 10mtbiri 316 . . . . . . . 8 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
1211con4i 114 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1312simpld 482 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
14 0ex 4924 . . . . . 6 ∅ ∈ V
15 xpsneng 8201 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
1613, 14, 15sylancl 574 . . . . 5 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
17 endom 8136 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≼ 𝐴)
18 domwdom 8635 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ≼ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴)
19 wdomtr 8636 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) ∧ (𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴)
2019expcom 398 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
2116, 17, 18, 204syl 19 . . . 4 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
221, 21mtoi 190 . . 3 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → ¬ 𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}))
23 pwcdaen 9209 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
2413, 13, 23syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
25 domen1 8258 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)))
2726ibi 256 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
28 cdaval 9194 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
2912, 28syl 17 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
3027, 29breqtrd 4812 . . . . 5 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
31 unxpwdom 8650 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
3332ord 851 . . 3 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (¬ 𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
3422, 33mpd 15 . 2 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
3512simprd 483 . . 3 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
36 1on 7720 . . 3 1𝑜 ∈ On
37 xpsneng 8201 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
3835, 36, 37sylancl 574 . 2 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
39 domentr 8168 . 2 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜}) ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
4034, 38, 39syl2anc 573 1 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 834   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cun 3721  c0 4063  𝒫 cpw 4297  {csn 4316   class class class wbr 4786   × cxp 5247  dom cdm 5249  Oncon0 5866   Fn wfn 6026  (class class class)co 6793  1𝑜c1o 7706  cen 8106  cdom 8107  * cwdom 8618   +𝑐 ccda 9191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-wdom 8620  df-cda 9192
This theorem is referenced by:  gchdomtri  9653  gchpwdom  9694  gchhar  9703
  Copyright terms: Public domain W3C validator