Theorem pwcda1 9054

Description: The sum of a powerset with itself is equipotent to the successor powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwcda1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))

Proof of Theorem pwcda1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7612	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ On
2		pwcdaen 9045	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1𝑜 ∈ On) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜))
3	1, 2	mpan2 707	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜))
4		pwpw0 4376	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
5		df1o2 7617	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 = {∅}
6	5	pweqi 4195	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1𝑜 = 𝒫 {∅}
7		df2o2 7619	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 = {∅, {∅}}
8	4, 6, 7	3eqtr4i 2683	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1𝑜 = 2𝑜
9	8	xpeq2i 5170	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜) = (𝒫 𝐴 × 2𝑜)
10		pwexg 4880	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
11		xp2cda 9040	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 × 2𝑜) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 × 2𝑜) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
13	9, 12	syl5eq 2697	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
14	3, 13	breqtrd 4711	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
15	14	ensymd 8048	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685   × cxp 5141  Oncon0 5761  (class class class)co 6690  1_𝑜c1o 7598  2_𝑜c2o 7599   ≈ cen 7994   +_𝑐 ccda 9027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-cda 9028

This theorem is referenced by:  pwcdaidm  9055  cdalepw  9056  pwsdompw  9064  gchcdaidm  9528  gchpwdom  9530