Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcda1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwcda1 9054
 Description: The sum of a powerset with itself is equipotent to the successor powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcda1 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))

Proof of Theorem pwcda1
StepHypRef Expression
1 1on 7612 . . . 4 1𝑜 ∈ On
2 pwcdaen 9045 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ 1𝑜 ∈ On) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜))
31, 2mpan2 707 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜))
4 pwpw0 4376 . . . . . 6 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
5 df1o2 7617 . . . . . . 7 1𝑜 = {∅}
65pweqi 4195 . . . . . 6 𝒫 1𝑜 = 𝒫 {∅}
7 df2o2 7619 . . . . . 6 2𝑜 = {∅, {∅}}
84, 6, 73eqtr4i 2683 . . . . 5 𝒫 1𝑜 = 2𝑜
98xpeq2i 5170 . . . 4 (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜) = (𝒫 𝐴 × 2𝑜)
10 pwexg 4880 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
11 xp2cda 9040 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 × 2𝑜) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 × 2𝑜) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
139, 12syl5eq 2697 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1𝑜) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
143, 13breqtrd 4711 . 2 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
1514ensymd 8048 1 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685   × cxp 5141  Oncon0 5761  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599   ≈ cen 7994   +𝑐 ccda 9027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-cda 9028 This theorem is referenced by:  pwcdaidm  9055  cdalepw  9056  pwsdompw  9064  gchcdaidm  9528  gchpwdom  9530
 Copyright terms: Public domain W3C validator