Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pw2m1lepw2m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pw2m1lepw2m1 42737
Description: 2 to the power of a positive integer decreased by 1 is less than or equal to 2 to the power of the integer minus 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pw2m1lepw2m1 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))

Proof of Theorem pw2m1lepw2m1
StepHypRef Expression
1 1lt2 11307 . . . 4 1 < 2
2 nncn 11141 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
3 1cnd 10169 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
42, 3nncand 10510 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − (𝐼 − 1)) = 1)
54oveq2d 6781 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = (2↑1))
6 2cn 11204 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
8 2ne0 11226 . . . . . . 7 2 ≠ 0
98a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
10 nnz 11512 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
11 peano2zm 11533 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
137, 9, 12, 10expsubd 13134 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
14 exp1 12981 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
156, 14mp1i 13 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
165, 13, 153eqtr3d 2766 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))) = 2)
171, 16syl5breqr 4798 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
18 2nn 11298 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
20 nnm1nn0 11447 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
2119, 20nnexpcld 13145 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
2221nnrpd 11984 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
23 2z 11522 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
24 nnnn0 11412 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
25 zexpcl 12990 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
2623, 24, 25sylancr 698 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
2726zred 11595 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
28 divgt1b 42730 . . . 4 (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
2922, 27, 28syl2anc 696 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
3017, 29mpbird 247 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼))
3121nnzd 11594 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
32 zltlem1 11543 . . 3 (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
3331, 26, 32syl2anc 696 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
3430, 33mpbid 222 1 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  cz 11490  +crp 11946  cexp 12975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-seq 12917  df-exp 12976
This theorem is referenced by:  logbpw2m1  42788
  Copyright terms: Public domain W3C validator