MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pw2eng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pw2eng 8221
Description: The power set of a set is equinumerous to set exponentiation with a base of ordinal 2𝑜. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
pw2eng (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴))

Proof of Theorem pw2eng
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4978 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2 ovexd 6824 . . 3 (𝐴𝑉 → ({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
3 id 22 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
4 0ex 4921 . . . . 5 ∅ ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∅ ∈ V)
6 p0ex 4981 . . . . 5 {∅} ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → {∅} ∈ V)
8 0nep0 4964 . . . . 5 ∅ ≠ {∅}
98a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∅ ≠ {∅})
10 eqid 2770 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅))) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅)))
113, 5, 7, 9, 10pw2f1o 8220 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴1-1-onto→({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴))
12 f1oen2g 8125 . . 3 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ ({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝑧𝐴 ↦ if(𝑧𝑥, {∅}, ∅))):𝒫 𝐴1-1-onto→({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴)) → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴))
131, 2, 11, 12syl3anc 1475 . 2 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ ({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴))
14 df2o2 7727 . . 3 2𝑜 = {∅, {∅}}
1514oveq1i 6802 . 2 (2𝑜𝑚 𝐴) = ({∅, {∅}} ↑𝑚 𝐴)
1613, 15syl6breqr 4826 1 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2144  wne 2942  Vcvv 3349  c0 4061  ifcif 4223  𝒫 cpw 4295  {csn 4314  {cpr 4316   class class class wbr 4784  cmpt 4861  1-1-ontowf1o 6030  (class class class)co 6792  2𝑜c2o 7706  𝑚 cmap 8008  cen 8105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1o 7712  df-2o 7713  df-map 8010  df-en 8109
This theorem is referenced by:  pw2en  8222  pwen  8288  mappwen  9134  pwcdaen  9208  ackbij1lem5  9247  hauspwdom  21524  enrelmap  38810
  Copyright terms: Public domain W3C validator