MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptpjcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptpjcn 21616
Description: Continuity of a projection map into a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptpjcn.1 𝑌 = 𝐽
ptpjcn.2 𝐽 = (∏t𝐹)
Assertion
Ref Expression
ptpjcn ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥𝑌 ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem ptpjcn
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptpjcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (∏t𝐹)
21ptuni 21599 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
323adant3 1127 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
4 ptpjcn.1 . . . 4 𝑌 = 𝐽
53, 4syl6reqr 2813 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → 𝑌 = X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
65mpteq1d 4890 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥𝑌 ↦ (𝑥𝐼)) = (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)))
7 pttop 21587 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (∏t𝐹) ∈ Top)
873adant3 1127 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (∏t𝐹) ∈ Top)
91, 8syl5eqel 2843 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
10 ffvelrn 6520 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝐹𝐼) ∈ Top)
11103adant1 1125 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝐹𝐼) ∈ Top)
129, 11jca 555 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹𝐼) ∈ Top))
13 vex 3343 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
1413elixp 8081 . . . . . . . . 9 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝑥 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
1514simprbi 483 . . . . . . . 8 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
16 fveq2 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐼 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝐼))
17 fveq2 6352 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
1817unieqd 4598 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
1916, 18eleq12d 2833 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ↔ (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼)))
2019rspcva 3447 . . . . . . . 8 ((𝐼𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
2115, 20sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝐼𝐴𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
22213ad2antl3 1203 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) ∧ 𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐼) ∈ (𝐹𝐼))
23 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) = (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼))
2422, 23fmptd 6548 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)⟶ (𝐹𝐼))
255feq2d 6192 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼) ↔ (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)⟶ (𝐹𝐼)))
2624, 25mpbird 247 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼))
27 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} = {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}
2827ptbas 21584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ∈ TopBases)
29 bastg 20972 . . . . . . . . . . 11 ({𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ∈ TopBases → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
31 ffn 6206 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶Top → 𝐹 Fn 𝐴)
3227ptval 21575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝐹 Fn 𝐴) → (∏t𝐹) = (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
331, 32syl5eq 2806 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐹 Fn 𝐴) → 𝐽 = (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
3431, 33sylan2 492 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐽 = (topGen‘{𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}))
3530, 34sseqtr4d 3783 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ 𝐽)
3635adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑢 ∈ (𝐹𝐼))) → {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))} ⊆ 𝐽)
37 eqid 2760 . . . . . . . . 9 X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)
3827, 37ptpjpre2 21585 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑢 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ {𝑤 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑤 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))})
3936, 38sseldd 3745 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝐼𝐴𝑢 ∈ (𝐹𝐼))) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
4039expr 644 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ 𝐼𝐴) → (𝑢 ∈ (𝐹𝐼) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽))
4140ralrimiv 3103 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ 𝐼𝐴) → ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
42413impa 1101 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
4326, 42jca 555 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽))
44 eqid 2760 . . . 4 (𝐹𝐼) = (𝐹𝐼)
454, 44iscn2 21244 . . 3 ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹𝐼) ∈ Top) ∧ ((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)):𝑌 (𝐹𝐼) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐹𝐼)((𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)))
4612, 43, 45sylanbrc 701 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)))
476, 46eqeltrd 2839 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐼𝐴) → (𝑥𝑌 ↦ (𝑥𝐼)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  {cab 2746  wral 3050  wrex 3051  cdif 3712  wss 3715   cuni 4588  cmpt 4881  ccnv 5265  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  Xcixp 8074  Fincfn 8121  topGenctg 16300  tcpt 16301  Topctop 20900  TopBasesctb 20951   Cn ccn 21230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-fin 8125  df-fi 8482  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cn 21233
This theorem is referenced by:  pthaus  21643  ptrescn  21644  xkopjcn  21661  pt1hmeo  21811  ptunhmeo  21813  tmdgsum  22100  symgtgp  22106  prdstmdd  22128  prdstgpd  22129  poimir  33755  broucube  33756
  Copyright terms: Public domain W3C validator