Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthsonfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthsonfval 26871
 Description: The set of paths between two vertices (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2017.) (Revised by AV, 16-Jan-2021.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
pthsonfval.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
pthsonfval ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑝𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)})
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑝   𝐴,𝑓,𝑝   𝐵,𝑓,𝑝   𝑓,𝑉,𝑝

Proof of Theorem pthsonfval
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pthsonfval.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
211vgrex 26103 . . 3 (𝐴𝑉𝐺 ∈ V)
32adantr 466 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐺 ∈ V)
4 simpl 468 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
54, 1syl6eleq 2860 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6 simpr 471 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
76, 1syl6eleq 2860 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
8 wksv 26750 . . 3 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V
98a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V)
10 pthiswlk 26858 . . 3 (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
1110adantl 467 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝑓(Paths‘𝐺)𝑝) → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
12 df-pthson 26849 . 2 PathsOn = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑎(TrailsOn‘𝑔)𝑏)𝑝𝑓(Paths‘𝑔)𝑝)}))
133, 5, 7, 9, 11, 12mptmpt2opabovd 7403 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐵) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑝𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   class class class wbr 4787  {copab 4847  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Vtxcvtx 26095  Walkscwlks 26727  TrailsOnctrlson 26823  Pathscpths 26843  PathsOncpthson 26845 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-wlks 26730  df-trls 26824  df-pths 26847  df-pthson 26849 This theorem is referenced by:  ispthson  26873
 Copyright terms: Public domain W3C validator