MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdlem2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem2lem 26873
Description: Lemma for pthdlem2 26874. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem2lem ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2lem
StepHypRef Expression
1 pthd.s . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
213ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
3 ralcom 3236 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
4 elfzo1 12712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅))
5 nnne0 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
65necomd 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑗)
763ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
84, 7sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
98adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 0 ≠ 𝑗)
10 neeq1 2994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 0 → (𝐼𝑗 ↔ 0 ≠ 𝑗))
119, 10syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 0 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼𝑗))
1211expd 451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = 0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗)))
13 nnre 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
1413adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
15 nnre 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
1615adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
1714, 16ltlend 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅 ↔ (𝑗𝑅𝑅𝑗)))
18 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑅𝑅𝑗) → 𝑅𝑗)
1917, 18syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅𝑅𝑗))
20193impia 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 𝑅𝑗)
214, 20sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝑅𝑗)
2221adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝑅𝑗)
23 neeq1 2994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 𝑅 → (𝐼𝑗𝑅𝑗))
2422, 23syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 𝑅 → (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼𝑗))
2524expd 451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = 𝑅 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗)))
2612, 25jaoi 393 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗)))
2726impcom 445 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗))
28273adant1 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗))
2928imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼𝑗)
30 lbfzo0 12702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
3130biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
32 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
3331, 32syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 0 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
34 pthd.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
35 fzo0end 12754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
3634, 35syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
37 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 𝑅 → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ↔ 𝑅 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
3836, 37syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 𝑅 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
3933, 38jaoi 393 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃))))
4039impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
41403adant1 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
4241adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)))
43 neeq1 2994 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑗𝐼𝑗))
44 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐼 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝐼))
4544neeq1d 2991 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗)))
4643, 45imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝐼𝑗 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗))))
4746rspcv 3445 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝐼𝑗 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗))))
4842, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝐼𝑗 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗))))
4929, 48mpid 44 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗)))
50 nesym 2988 . . . . . . . 8 ((𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗) ↔ ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
5149, 50syl6ib 241 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
5251ralimdva 3100 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
533, 52syl5bi 232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
542, 53mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
55 ralnex 3130 . . . 4 (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
5654, 55sylib 208 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
57 pthd.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
58 wrdf 13496 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
59 ffun 6209 . . . . . 6 (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V → Fun 𝑃)
6057, 58, 593syl 18 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝑃)
61603ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → Fun 𝑃)
62 fvelima 6410 . . . . 5 ((Fun 𝑃 ∧ (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅))) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
6362ex 449 . . . 4 (Fun 𝑃 → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
6461, 63syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
6556, 64mtod 189 . 2 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
66 df-nel 3036 . 2 ((𝑃𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ↔ ¬ (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
6765, 66sylibr 224 1 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wnel 3035  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340   class class class wbr 4804  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  cn 11212  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485
This theorem is referenced by:  pthdlem2  26874
  Copyright terms: Public domain W3C validator