MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem2 26920
Description: Lemma 2 for pthd 26921. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem2 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2
StepHypRef Expression
1 pthd.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 lencl 13542 . . . 4 (𝑃 ∈ Word V → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
3 df-ne 2947 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (♯‘𝑃) = 0)
4 elnnne0 11530 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0))
54simplbi2 489 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ≠ 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
63, 5syl5bir 234 . . . 4 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
71, 2, 63syl 18 . . 3 (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
8 eqid 2774 . . . . . . 7 0 = 0
98orci 881 . . . . . 6 (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)
10 pthd.r . . . . . . 7 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
11 pthd.s . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
121, 10, 11pthdlem2lem 26919 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
139, 12mp3an3 1564 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
14 eqid 2774 . . . . . . 7 𝑅 = 𝑅
1514olci 882 . . . . . 6 (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)
161, 10, 11pthdlem2lem 26919 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)) → (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
1715, 16mp3an3 1564 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
18 wrdffz 13544 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
191, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
2019adantr 467 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
2110oveq2i 6823 . . . . . . . 8 (0...𝑅) = (0...((♯‘𝑃) − 1))
2221feq2i 6188 . . . . . . 7 (𝑃:(0...𝑅)⟶V ↔ 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
2320, 22sylibr 225 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...𝑅)⟶V)
24 nnm1nn0 11558 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
2510, 24syl5eqel 2857 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℕ0)
2625adantl 468 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27 fvinim0ffz 12817 . . . . . 6 ((𝑃:(0...𝑅)⟶V ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
2823, 26, 27syl2anc 574 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
2913, 17, 28mpbir2and 693 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
3029ex 398 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
317, 30syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
32 oveq1 6819 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) − 1) = (0 − 1))
3310, 32syl5eq 2820 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑅 = (0 − 1))
3433oveq2d 6828 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = (1..^(0 − 1)))
35 0le2 11334 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
36 1p1e2 11358 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
3735, 36breqtrri 4824 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 + 1)
38 0re 10263 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
39 1re 10262 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
4038, 39, 39lesubadd2i 10811 . . . . . . . . 9 ((0 − 1) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + 1))
4137, 40mpbir 222 . . . . . . . 8 (0 − 1) ≤ 1
42 1z 11631 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
43 0z 11612 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
44 peano2zm 11644 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 − 1) ∈ ℤ
46 fzon 12719 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅))
4742, 45, 46mp2an 673 . . . . . . . 8 ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅)
4841, 47mpbi 221 . . . . . . 7 (1..^(0 − 1)) = ∅
4934, 48syl6eq 2824 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = ∅)
5049imaeq2d 5617 . . . . 5 ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = (𝑃 “ ∅))
51 ima0 5632 . . . . 5 (𝑃 “ ∅) = ∅
5250, 51syl6eq 2824 . . . 4 ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = ∅)
5352ineq2d 3972 . . 3 ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅))
54 in0 4123 . . 3 ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅) = ∅
5553, 54syl6eq 2824 . 2 ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
5631, 55pm2.61d2 173 1 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 383  wo 863   = wceq 1634  wcel 2148  wne 2946  wnel 3049  wral 3064  Vcvv 3355  cin 3728  c0 4073  {cpr 4328   class class class wbr 4797  cima 5266  wf 6038  cfv 6042  (class class class)co 6812  0cc0 10159  1c1 10160   + caddc 10162  cle 10298  cmin 10489  cn 11243  2c2 11293  0cn0 11516  cz 11601  ...cfz 12555  ..^cfzo 12695  chash 13343  Word cword 13509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-oadd 7738  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-card 8986  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-2 11302  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-fz 12556  df-fzo 12696  df-hash 13344  df-word 13517
This theorem is referenced by:  pthd  26921
  Copyright terms: Public domain W3C validator