MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem1 26643
Description: Lemma 1 for pthd 26646. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem1 (𝜑 → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem1
StepHypRef Expression
1 pthd.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 wrdf 13293 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶V)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶V)
4 fzo0ss1 12482 . . . . . . . . 9 (1..^𝑅) ⊆ (0..^𝑅)
5 pthd.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 = ((#‘𝑃) − 1))
76oveq2d 6651 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^𝑅) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
84, 7syl5sseq 3645 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
9 lencl 13307 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word V → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
10 nn0z 11385 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
111, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
12 fzossrbm1 12481 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^((#‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
148, 13sstrd 3605 . . . . . . 7 (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
153, 14fssresd 6058 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
1615adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
17 pthd.s . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
191, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
20 nn0re 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
2120ltm1d 10941 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃))
22 1re 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
23 peano2rem 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑃) ∈ ℝ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
25 lttr 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 < (#‘𝑃)))
2622, 24, 20, 25mp3an2i 1427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 < (#‘𝑃)))
27 1red 10040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
28 ltle 10111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < (#‘𝑃) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
2927, 20, 28syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑃) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
3026, 29syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
3121, 30mpan2d 709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
3231imdistani 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)))
33 elnnnn0c 11323 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)))
3432, 33sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
3519, 34sylan 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
36 fzo0sn0fzo1 12541 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))))
38 1zzd 11393 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → 1 ∈ ℤ)
39 1p1e2 11119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = 2
40 2z 11394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
4139, 40eqeltri 2695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) ∈ ℤ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ∈ ℤ)
4310adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
44 ltaddsub 10487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (#‘𝑃) ↔ 1 < ((#‘𝑃) − 1)))
4544bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (#‘𝑃)))
4622, 27, 20, 45mp3an2i 1427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (#‘𝑃)))
47 2re 11075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
4839, 47eqeltri 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) ∈ ℝ
49 ltle 10111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 + 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (#‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5048, 20, 49sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) < (#‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5146, 50sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5251imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃))
53 eluz2 11678 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)) ↔ ((1 + 1) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5442, 43, 52, 53syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
5519, 54sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
56 fzosplitsnm1 12526 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (1..^(#‘𝑃)) = ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))
5738, 55, 56syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1..^(#‘𝑃)) = ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))
5857uneq2d 3759 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))) = ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})))
5937, 58eqtrd 2654 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})))
6059raleqdv 3139 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
61 ralunb 3786 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
62 ralunb 3786 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
6362anbi2i 729 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))))
6461, 63bitri 264 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))))
6560, 64syl6bb 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))))
665eqcomi 2629 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) − 1) = 𝑅
6766oveq2i 6646 . . . . . . . . . . 11 (1..^((#‘𝑃) − 1)) = (1..^𝑅)
6867raleqi 3137 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
69 fvres 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
7069eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
7170adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
73 fvres 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗) = (𝑃𝑗))
7473eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
7574adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
7672, 75neeq12d 2852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
7776biimpd 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
7877imim2d 57 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
7978ralimdva 2959 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8079ralimdva 2959 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8168, 80syl5bi 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8281adantrd 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8382adantld 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8465, 83sylbid 230 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8518, 84mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
86 dff14a 6512 . . . . 5 ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8716, 85, 86sylanbrc 697 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V)
88 df-f1 5881 . . . 4 ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
8987, 88sylib 208 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
9089simprd 479 . 2 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
91 funcnv0 5943 . . 3 Fun
9219nn0zd 11465 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
93 peano2zm 11405 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
9594zred 11467 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
96 1red 10040 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9795, 96lenltd 10168 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((#‘𝑃) − 1) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)))
9897biimpar 502 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) − 1) ≤ 1)
995, 98syl5eqbr 4679 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑅 ≤ 1)
100 1zzd 11393 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1015, 94syl5eqel 2703 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
102100, 101jca 554 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
103102adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
104 fzon 12473 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑅 ≤ 1 ↔ (1..^𝑅) = ∅))
105104bicomd 213 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
106103, 105syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
10799, 106mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1..^𝑅) = ∅)
108107reseq2d 5385 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = (𝑃 ↾ ∅))
109 res0 5389 . . . . . 6 (𝑃 ↾ ∅) = ∅
110108, 109syl6eq 2670 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ∅)
111110cnveqd 5287 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ∅)
112111funeqd 5898 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) ↔ Fun ∅))
11391, 112mpbiri 248 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
11490, 113pm2.61dan 831 1 (𝜑 → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  Vcvv 3195  cun 3565  wss 3567  c0 3907  {csn 4168   class class class wbr 4644  ccnv 5103  cres 5106  Fun wfun 5870  wf 5872  1-1wf1 5873  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  cn 11005  2c2 11055  0cn0 11277  cz 11362  cuz 11672  ..^cfzo 12449  #chash 13100  Word cword 13274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282
This theorem is referenced by:  pthd  26646
  Copyright terms: Public domain W3C validator