MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdadjvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdadjvtx 26807
Description: The adjacent vertices of a path of length at least 2 are distinct. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthdadjvtx ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))

Proof of Theorem pthdadjvtx
StepHypRef Expression
1 elfzo0l 12723 . . 3 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
2 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
3 pthiswlk 26804 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4 wlkcl 26692 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5 1zzd 11571 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ∈ ℤ)
6 nn0z 11563 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
76adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
8 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 < (♯‘𝐹))
9 fzolb 12641 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 < (♯‘𝐹)))
105, 7, 8, 9syl3anbrc 1407 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
11 0elfz 12601 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
1211adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
13 ax-1ne0 10168 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 0
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ≠ 0)
1510, 12, 143jca 1403 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0))
1615ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐹) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)))
173, 4, 163syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)))
1817impcom 445 . . . . . . . . 9 ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0))
19 pthdivtx 26806 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
202, 18, 19syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
2120necomd 2975 . . . . . . 7 ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
22213adant1 1122 . . . . . 6 ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
23 fveq2 6340 . . . . . . . 8 (𝐼 = 0 → (𝑃𝐼) = (𝑃‘0))
24 oveq1 6808 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = 0 → (𝐼 + 1) = (0 + 1))
25 0p1e1 11295 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
2624, 25syl6eq 2798 . . . . . . . . 9 (𝐼 = 0 → (𝐼 + 1) = 1)
2726fveq2d 6344 . . . . . . . 8 (𝐼 = 0 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘1))
2823, 27neeq12d 2981 . . . . . . 7 (𝐼 = 0 → ((𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
29283ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → ((𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
3022, 29mpbird 247 . . . . 5 ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
31303exp 1112 . . . 4 (𝐼 = 0 → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
32 simp3 1130 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
33 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
34 fzo0ss1 12663 . . . . . . . . . 10 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
3534sseli 3728 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
36 fzofzp1 12730 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
38 elfzoelz 12635 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3938zcnd 11646 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ ℂ)
40 1cnd 10219 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 1 ∈ ℂ)
4113a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 1 ≠ 0)
4239, 40, 413jca 1403 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
43 addn0nid 10614 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → (𝐼 + 1) ≠ 𝐼)
4443necomd 2975 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
4633, 37, 453jca 1403 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
47463ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
48 pthdivtx 26806 . . . . . 6 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
4932, 47, 48syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
50493exp 1112 . . . 4 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
5131, 50jaoi 393 . . 3 ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
521, 51syl 17 . 2 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
53523imp31 1103 1 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   < clt 10237  0cn0 11455  cz 11540  ...cfz 12490  ..^cfzo 12630  chash 13282  Walkscwlks 26673  Pathscpths 26789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-hash 13283  df-word 13456  df-wlks 26676  df-trls 26770  df-pths 26793
This theorem is referenced by:  2pthnloop  26808  upgr3v3e3cycl  27303  upgr4cycl4dv4e  27308
  Copyright terms: Public domain W3C validator