Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthd 26867
 Description: Two words representing a trail which also represent a path in a graph. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
pthd.f (♯‘𝐹) = 𝑅
pthd.t (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
Assertion
Ref Expression
pthd (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem pthd
StepHypRef Expression
1 pthd.t . 2 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2 pthd.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
3 pthd.f . . . 4 (♯‘𝐹) = 𝑅
4 pthd.r . . . 4 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
53, 4eqtri 2774 . . 3 (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)
6 pthd.s . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
73oveq2i 6816 . . . . . 6 (1..^(♯‘𝐹)) = (1..^𝑅)
87raleqi 3273 . . . . 5 (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
98ralbii 3110 . . . 4 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
106, 9sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
112, 5, 10pthdlem1 26864 . 2 (𝜑 → Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
122, 5, 10pthdlem2 26866 . 2 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
13 ispth 26821 . 2 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
141, 11, 12, 13syl3anbrc 1426 1 (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  ∀wral 3042  Vcvv 3332   ∩ cin 3706  ∅c0 4050  {cpr 4315   class class class wbr 4796  ◡ccnv 5257   ↾ cres 5260   “ cima 5261  Fun wfun 6035  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  0cc0 10120  1c1 10121   − cmin 10450  ..^cfzo 12651  ♯chash 13303  Word cword 13469  Trailsctrls 26789  Pathscpths 26810 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-hash 13304  df-word 13477  df-wlks 26697  df-trls 26791  df-pths 26814 This theorem is referenced by:  2pthd  27052  3pthd  27318
 Copyright terms: Public domain W3C validator