MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthaus 21489
Description: The product of a collection of Hausdorff spaces is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pthaus ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t𝐹) ∈ Haus)

Proof of Theorem pthaus
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 21183 . . . . 5 (𝑥 ∈ Haus → 𝑥 ∈ Top)
21ssriv 3640 . . . 4 Haus ⊆ Top
3 fss 6094 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶Haus ∧ Haus ⊆ Top) → 𝐹:𝐴⟶Top)
42, 3mpan2 707 . . 3 (𝐹:𝐴⟶Haus → 𝐹:𝐴⟶Top)
5 pttop 21433 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (∏t𝐹) ∈ Top)
64, 5sylan2 490 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t𝐹) ∈ Top)
7 simprl 809 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → 𝑥 (∏t𝐹))
8 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (∏t𝐹) = (∏t𝐹)
98ptuni 21445 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = (∏t𝐹))
104, 9sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = (∏t𝐹))
1110adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = (∏t𝐹))
127, 11eleqtrrd 2733 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → 𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
13 ixpfn 7956 . . . . . . 7 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → 𝑥 Fn 𝐴)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → 𝑥 Fn 𝐴)
15 simprr 811 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → 𝑦 (∏t𝐹))
1615, 11eleqtrrd 2733 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → 𝑦X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
17 ixpfn 7956 . . . . . . 7 (𝑦X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → 𝑦 Fn 𝐴)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → 𝑦 Fn 𝐴)
19 eqfnfv 6351 . . . . . 6 ((𝑥 Fn 𝐴𝑦 Fn 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
2014, 18, 19syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
2120necon3abid 2859 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
22 rexnal 3024 . . . . 5 (∃𝑘𝐴 ¬ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘) ↔ ¬ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘))
23 df-ne 2824 . . . . . . 7 ((𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘) ↔ ¬ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘))
24 simpllr 815 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → 𝐹:𝐴⟶Haus)
25 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → 𝑘𝐴)
2624, 25ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → (𝐹𝑘) ∈ Haus)
27 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
2827elixp 7957 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝑥 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
2928simprbi 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3012, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3130r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3231adantrr 753 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → (𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
33 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
3433elixp 7957 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝑦 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘) ∈ (𝐹𝑘)))
3534simprbi 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) → ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3616, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → ∀𝑘𝐴 (𝑦𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3736r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑦𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
3837adantrr 753 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → (𝑦𝑘) ∈ (𝐹𝑘))
39 simprr 811 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))
40 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘)
4140hausnei 21180 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑘) ∈ Haus ∧ ((𝑥𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑦𝑘) ∈ (𝐹𝑘) ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → ∃𝑚 ∈ (𝐹𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹𝑘)((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
4226, 32, 38, 39, 41syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → ∃𝑚 ∈ (𝐹𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹𝑘)((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
43 simp-4l 823 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝐴𝑉)
444ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
4525adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝑘𝐴)
46 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∏t𝐹) = (∏t𝐹)
4746, 8ptpjcn 21462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝑘𝐴) → (𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) ∈ ((∏t𝐹) Cn (𝐹𝑘)))
4843, 44, 45, 47syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → (𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) ∈ ((∏t𝐹) Cn (𝐹𝑘)))
49 simprll 819 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝑚 ∈ (𝐹𝑘))
50 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) = (𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘))
5150mptpreima 5666 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑚) = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚}
52 cnima 21117 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) ∈ ((∏t𝐹) Cn (𝐹𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑚) ∈ (∏t𝐹))
5351, 52syl5eqelr 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) ∈ ((∏t𝐹) Cn (𝐹𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐹𝑘)) → {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t𝐹))
5448, 49, 53syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t𝐹))
55 simprlr 820 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝑛 ∈ (𝐹𝑘))
5650mptpreima 5666 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑛) = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}
57 cnima 21117 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) ∈ ((∏t𝐹) Cn (𝐹𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑛) ∈ (∏t𝐹))
5856, 57syl5eqelr 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 (∏t𝐹) ↦ (𝑧𝑘)) ∈ ((∏t𝐹) Cn (𝐹𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) → {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t𝐹))
5948, 55, 58syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t𝐹))
607ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝑥 (∏t𝐹))
61 simprr1 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → (𝑥𝑘) ∈ 𝑚)
62 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑘) = (𝑥𝑘))
6362eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ↔ (𝑥𝑘) ∈ 𝑚))
6463elrab 3396 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ↔ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ (𝑥𝑘) ∈ 𝑚))
6560, 61, 64sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝑥 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚})
6615ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝑦 (∏t𝐹))
67 simprr2 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → (𝑦𝑘) ∈ 𝑛)
68 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑘) = (𝑦𝑘))
6968eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧𝑘) ∈ 𝑛 ↔ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛))
7069elrab 3396 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} ↔ (𝑦 (∏t𝐹) ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛))
7166, 67, 70sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → 𝑦 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛})
72 inrab 3932 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}) = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛)}
73 simprr3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → (𝑚𝑛) = ∅)
74 inelcm 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛) → (𝑚𝑛) ≠ ∅)
7574necon2bi 2853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚𝑛) = ∅ → ¬ ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛))
7673, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → ¬ ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛))
7776ralrimivw 2996 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → ∀𝑧 (∏t𝐹) ¬ ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛))
78 rabeq0 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛)} = ∅ ↔ ∀𝑧 (∏t𝐹) ¬ ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛))
7977, 78sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → {𝑧 (∏t𝐹) ∣ ((𝑧𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛)} = ∅)
8072, 79syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)
81 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} → (𝑥𝑢𝑥 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚}))
82 ineq1 3840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} → (𝑢𝑣) = ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣))
8382eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} → ((𝑢𝑣) = ∅ ↔ ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅))
8481, 833anbi13d 1441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} → ((𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦𝑣 ∧ ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅)))
85 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} → (𝑦𝑣𝑦 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}))
86 ineq2 3841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} → ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}))
8786eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} → (({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅ ↔ ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅))
8885, 873anbi23d 1442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} → ((𝑥 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦𝑣 ∧ ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ 𝑣) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} ∧ ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)))
8984, 88rspc2ev 3355 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∈ (∏t𝐹) ∧ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} ∈ (∏t𝐹) ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛} ∧ ({𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑚} ∩ {𝑧 (∏t𝐹) ∣ (𝑧𝑘) ∈ 𝑛}) = ∅)) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))
9054, 59, 65, 71, 80, 89syl113anc 1378 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ ((𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘)) ∧ ((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))
9190expr 642 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) ∧ (𝑚 ∈ (𝐹𝑘) ∧ 𝑛 ∈ (𝐹𝑘))) → (((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9291rexlimdvva 3067 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → (∃𝑚 ∈ (𝐹𝑘)∃𝑛 ∈ (𝐹𝑘)((𝑥𝑘) ∈ 𝑚 ∧ (𝑦𝑘) ∈ 𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9342, 92mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ (𝑘𝐴 ∧ (𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘))) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))
9493expr 642 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑥𝑘) ≠ (𝑦𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9523, 94syl5bir 233 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) ∧ 𝑘𝐴) → (¬ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9695rexlimdva 3060 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → (∃𝑘𝐴 ¬ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9722, 96syl5bir 233 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → (¬ ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘) → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9821, 97sylbid 230 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) ∧ (𝑥 (∏t𝐹) ∧ 𝑦 (∏t𝐹))) → (𝑥𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
9998ralrimivva 3000 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) → ∀𝑥 (∏t𝐹)∀𝑦 (∏t𝐹)(𝑥𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅)))
10046ishaus 21174 . 2 ((∏t𝐹) ∈ Haus ↔ ((∏t𝐹) ∈ Top ∧ ∀𝑥 (∏t𝐹)∀𝑦 (∏t𝐹)(𝑥𝑦 → ∃𝑢 ∈ (∏t𝐹)∃𝑣 ∈ (∏t𝐹)(𝑥𝑢𝑦𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))))
1016, 99, 100sylanbrc 699 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Haus) → (∏t𝐹) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  cin 3606  wss 3607  c0 3948   cuni 4468  cmpt 4762  ccnv 5142  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Xcixp 7950  tcpt 16146  Topctop 20746   Cn ccn 21076  Hauscha 21160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-fin 8001  df-fi 8358  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cn 21079  df-haus 21167
This theorem is referenced by:  poimirlem30  33569
  Copyright terms: Public domain W3C validator