MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptcmp 21984
Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptcmp ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t𝐹) ∈ Comp)

Proof of Theorem ptcmp
StepHypRef Expression
1 fvex 6314 . . . . 5 (∏t𝐹) ∈ V
21uniex 7070 . . . 4 (∏t𝐹) ∈ V
3 axac3 9399 . . . . 5 CHOICE
4 acufl 21843 . . . . 5 (CHOICE → UFL = V)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 UFL = V
62, 5eleqtrri 2802 . . 3 (∏t𝐹) ∈ UFL
7 cardeqv 9404 . . . 4 dom card = V
82, 7eleqtrri 2802 . . 3 (∏t𝐹) ∈ dom card
9 elin 3904 . . 3 ( (∏t𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card) ↔ ( (∏t𝐹) ∈ UFL ∧ (∏t𝐹) ∈ dom card))
106, 8, 9mpbir2an 993 . 2 (∏t𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)
11 eqid 2724 . . 3 (∏t𝐹) = (∏t𝐹)
12 eqid 2724 . . 3 (∏t𝐹) = (∏t𝐹)
1311, 12ptcmpg 21983 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp ∧ (∏t𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)) → (∏t𝐹) ∈ Comp)
1410, 13mp3an3 1526 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t𝐹) ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  Vcvv 3304  cin 3679   cuni 4544  dom cdm 5218  wf 5997  cfv 6001  cardccrd 8874  CHOICEwac 9051  tcpt 16222  Compccmp 21312  UFLcufl 21826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-ac2 9398
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-rpss 7054  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fi 8433  df-wdom 8580  df-card 8878  df-acn 8881  df-ac 9052  df-cda 9103  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-top 20822  df-topon 20839  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-cmp 21313  df-fil 21772  df-ufil 21827  df-ufl 21828  df-flim 21865  df-fcls 21867
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator