MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptcls 21641
Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. This theorem is an AC equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcls.2 𝐽 = (∏t‘(𝑘𝐴𝑅))
ptcls.a (𝜑𝐴𝑉)
ptcls.j ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
ptcls.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑆𝑋)
Assertion
Ref Expression
ptcls (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘𝐴 𝑆) = X𝑘𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ptcls
StepHypRef Expression
1 ptcls.2 . 2 𝐽 = (∏t‘(𝑘𝐴𝑅))
2 ptcls.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
3 ptcls.j . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
4 ptcls.c . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑆𝑋)
5 toponmax 20952 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝑅)
63, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝑅)
76, 4ssexd 4957 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑆 ∈ V)
87ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑆 ∈ V)
9 iunexg 7309 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝑆 ∈ V) → 𝑘𝐴 𝑆 ∈ V)
102, 8, 9syl2anc 696 . . 3 (𝜑 𝑘𝐴 𝑆 ∈ V)
11 axac3 9498 . . . 4 CHOICE
12 acacni 9174 . . . 4 ((CHOICE𝐴𝑉) → AC 𝐴 = V)
1311, 2, 12sylancr 698 . . 3 (𝜑AC 𝐴 = V)
1410, 13eleqtrrd 2842 . 2 (𝜑 𝑘𝐴 𝑆AC 𝐴)
151, 2, 3, 4, 14ptclsg 21640 1 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘X𝑘𝐴 𝑆) = X𝑘𝐴 ((cls‘𝑅)‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  wss 3715   ciun 4672  cmpt 4881  cfv 6049  Xcixp 8076  AC wacn 8974  CHOICEwac 9148  tcpt 16321  TopOnctopon 20937  clsccl 21044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-ac2 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-fin 8127  df-fi 8484  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator