MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptbasin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptbasin2 21581
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}
Assertion
Ref Expression
ptbasin2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (fi‘𝐵) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝑦,𝑧,𝐴   𝑔,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑉,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem ptbasin2
Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . 4 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑔𝑦) ∈ (𝐹𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴𝑧)(𝑔𝑦) = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦𝐴 (𝑔𝑦))}
21ptbasin 21580 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵)) → (𝑢𝑣) ∈ 𝐵)
32ralrimivva 3107 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → ∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢𝑣) ∈ 𝐵)
41ptuni2 21579 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐵)
5 ixpexg 8096 . . . . . 6 (∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ V → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ V)
6 fvex 6360 . . . . . . . 8 (𝐹𝑘) ∈ V
76uniex 7116 . . . . . . 7 (𝐹𝑘) ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ V)
95, 8mprg 3062 . . . . 5 X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ V
104, 9syl6eqelr 2846 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐵 ∈ V)
11 uniexb 7136 . . . 4 (𝐵 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V)
1210, 11sylibr 224 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐵 ∈ V)
13 inficl 8494 . . 3 (𝐵 ∈ V → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢𝑣) ∈ 𝐵 ↔ (fi‘𝐵) = 𝐵))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵 (𝑢𝑣) ∈ 𝐵 ↔ (fi‘𝐵) = 𝐵))
153, 14mpbid 222 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (fi‘𝐵) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2137  {cab 2744  wral 3048  wrex 3049  Vcvv 3338  cdif 3710  cin 3712   cuni 4586   Fn wfn 6042  wf 6043  cfv 6047  Xcixp 8072  Fincfn 8119  ficfi 8479  Topctop 20898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-ixp 8073  df-en 8120  df-fin 8123  df-fi 8480  df-top 20899
This theorem is referenced by:  ptbas  21582  ptbasfi  21584
  Copyright terms: Public domain W3C validator