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Theorem pssnn 8345
 Description: A proper subset of a natural number is equinumerous to some smaller number. Lemma 6F of [Enderton] p. 137. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
pssnn ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem pssnn
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 3844 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
2 ssexg 4956 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ∈ V)
31, 2sylan 489 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ∈ V)
43ancoms 468 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
5 psseq2 3837 . . . . . . . 8 (𝑧 = ∅ → (𝑤𝑧𝑤 ⊊ ∅))
6 rexeq 3278 . . . . . . . 8 (𝑧 = ∅ → (∃𝑥𝑧 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥))
75, 6imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑧 = ∅ → ((𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ (𝑤 ⊊ ∅ → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥)))
87albidv 1998 . . . . . 6 (𝑧 = ∅ → (∀𝑤(𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊊ ∅ → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥)))
9 psseq2 3837 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑤𝑧𝑤𝑦))
10 rexeq 3278 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑥𝑧 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥))
119, 10imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ (𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)))
1211albidv 1998 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑤(𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)))
13 psseq2 3837 . . . . . . . 8 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑤𝑧𝑤 ⊊ suc 𝑦))
14 rexeq 3278 . . . . . . . 8 (𝑧 = suc 𝑦 → (∃𝑥𝑧 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
1513, 14imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
1615albidv 1998 . . . . . 6 (𝑧 = suc 𝑦 → (∀𝑤(𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
17 psseq2 3837 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (𝑤𝑧𝑤𝐴))
18 rexeq 3278 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥𝑧 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥))
1917, 18imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ (𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥)))
2019albidv 1998 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑤(𝑤𝑧 → ∃𝑥𝑧 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤(𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥)))
21 npss0 4157 . . . . . . . 8 ¬ 𝑤 ⊊ ∅
2221pm2.21i 116 . . . . . . 7 (𝑤 ⊊ ∅ → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥)
2322ax-gen 1871 . . . . . 6 𝑤(𝑤 ⊊ ∅ → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑤𝑥)
24 nfv 1992 . . . . . . 7 𝑤 𝑦 ∈ ω
25 nfa1 2177 . . . . . . 7 𝑤𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)
26 elequ1 2146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑤𝑦𝑤))
2726biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧𝑤 → (𝑧 = 𝑦𝑦𝑤))
2827con3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝑤 → (¬ 𝑦𝑤 → ¬ 𝑧 = 𝑦))
2928adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑧𝑤) → (¬ 𝑦𝑤 → ¬ 𝑧 = 𝑦))
30 pssss 3844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑤 ⊆ suc 𝑦)
3130sseld 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (𝑧𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦))
32 elsuci 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ suc 𝑦 → (𝑧𝑦𝑧 = 𝑦))
3332ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ suc 𝑦 → (¬ 𝑧𝑦𝑧 = 𝑦))
3433con1d 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ suc 𝑦 → (¬ 𝑧 = 𝑦𝑧𝑦))
3531, 34syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (𝑧𝑤 → (¬ 𝑧 = 𝑦𝑧𝑦)))
3635imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑧𝑤) → (¬ 𝑧 = 𝑦𝑧𝑦))
3729, 36syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑧𝑤) → (¬ 𝑦𝑤𝑧𝑦))
3837impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) → (𝑧𝑤𝑧𝑦))
3938ssrdv 3750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) → 𝑤𝑦)
4039anim1i 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦) → (𝑤𝑦 ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦))
41 dfpss2 3834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝑦 ↔ (𝑤𝑦 ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦))
4240, 41sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤𝑦)
43 elelsuc 5958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑦𝑥 ∈ suc 𝑦)
4443anim1i 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑦𝑤𝑥) → (𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
4544reximi2 3148 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥𝑦 𝑤𝑥 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)
4642, 45imim12i 62 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → (((𝑤 ⊊ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑦) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
4746exp4c 637 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (¬ 𝑦𝑤 → (¬ 𝑤 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))))
4847sps 2202 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (¬ 𝑦𝑤 → (¬ 𝑤 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))))
4948adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (¬ 𝑦𝑤 → (¬ 𝑤 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))))
5049com4t 93 . . . . . . . . 9 𝑦𝑤 → (¬ 𝑤 = 𝑦 → ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))))
51 anidm 679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑤 ⊊ suc 𝑦) ↔ 𝑤 ⊊ suc 𝑦)
52 ssdif 3888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ⊆ suc 𝑦 → (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑦 ∖ {𝑦}))
53 nnord 7239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
54 orddif 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝑦𝑦 = (suc 𝑦 ∖ {𝑦}))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 = (suc 𝑦 ∖ {𝑦}))
5655sseq2d 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ω → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦 ↔ (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑦 ∖ {𝑦})))
5752, 56syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ω → (𝑤 ⊆ suc 𝑦 → (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦))
5830, 57syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ω → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦))
59 pssnel 4183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑧(𝑧 ∈ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑤))
60 eleq2 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦 → (𝑧 ∈ (𝑤 ∖ {𝑦}) ↔ 𝑧𝑦))
61 eldifi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (𝑤 ∖ {𝑦}) → 𝑧𝑤)
6260, 61syl6bir 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑤))
6362adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦) → (𝑧𝑦𝑧𝑤))
64 eleq1a 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝑤 → (𝑧 = 𝑦𝑧𝑤))
6533, 64sylan9r 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) → (¬ 𝑧𝑦𝑧𝑤))
6665adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦) → (¬ 𝑧𝑦𝑧𝑤))
6763, 66pm2.61d 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦) → 𝑧𝑤)
6867ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦𝑧𝑤))
6968con3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦𝑤𝑧 ∈ suc 𝑦) → (¬ 𝑧𝑤 → ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7069expimpd 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑤 → ((𝑧 ∈ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑤) → ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7170exlimdv 2010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑤 → (∃𝑧(𝑧 ∈ suc 𝑦 ∧ ¬ 𝑧𝑤) → ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7259, 71syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑤 → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7358, 72im2anan9r 917 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑤 ⊊ suc 𝑦𝑤 ⊊ suc 𝑦) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦 ∧ ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦)))
7451, 73syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦 ∧ ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦)))
75 dfpss2 3834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦 ↔ ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑦 ∧ ¬ (𝑤 ∖ {𝑦}) = 𝑦))
7674, 75syl6ibr 242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦))
77 psseq1 3836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑦𝑧𝑦))
78 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑥𝑧𝑥))
7978rexbidv 3190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑧 → (∃𝑥𝑦 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥))
8077, 79imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) ↔ (𝑧𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥)))
8180cbvalv 2418 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥))
82 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑤 ∈ V
83 difss 3880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑤
8482, 83ssexi 4955 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∖ {𝑦}) ∈ V
85 psseq1 3836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑤 ∖ {𝑦}) → (𝑧𝑦 ↔ (𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦))
86 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑤 ∖ {𝑦}) → (𝑧𝑥 ↔ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
8786rexbidv 3190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑤 ∖ {𝑦}) → (∃𝑥𝑦 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
8885, 87imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑤 ∖ {𝑦}) → ((𝑧𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥) ↔ ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦 → ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥)))
8984, 88spcv 3439 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧(𝑧𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑧𝑥) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦 → ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
9081, 89sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ⊊ 𝑦 → ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
9176, 90sylan9 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
92 ordsucelsuc 7188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Ord 𝑦 → (𝑥𝑦 ↔ suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
9392biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝑦 → (𝑥𝑦 → suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
9453, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ω → (𝑥𝑦 → suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
9594adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (𝑥𝑦 → suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
9695adantrd 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → suc 𝑥 ∈ suc 𝑦))
97 elnn 7241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥𝑦𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
98 snex 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {⟨𝑦, 𝑥⟩} ∈ V
99 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑦 ∈ V
100 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥 ∈ V
10199, 100f1osn 6338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {⟨𝑦, 𝑥⟩}:{𝑦}–1-1-onto→{𝑥}
102 f1oen3g 8139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (({⟨𝑦, 𝑥⟩} ∈ V ∧ {⟨𝑦, 𝑥⟩}:{𝑦}–1-1-onto→{𝑥}) → {𝑦} ≈ {𝑥})
10398, 101, 102mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑦} ≈ {𝑥}
104103jctr 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 ∧ {𝑦} ≈ {𝑥}))
105 nnord 7239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ω → Ord 𝑥)
106 orddisj 5923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Ord 𝑥 → (𝑥 ∩ {𝑥}) = ∅)
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∩ {𝑥}) = ∅)
108 incom 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝑦} ∩ (𝑤 ∖ {𝑦})) = ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∩ {𝑦})
109 disjdif 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝑦} ∩ (𝑤 ∖ {𝑦})) = ∅
110108, 109eqtr3i 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∩ {𝑦}) = ∅
111107, 110jctil 561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ω → (((𝑤 ∖ {𝑦}) ∩ {𝑦}) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ {𝑥}) = ∅))
112 unen 8207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 ∧ {𝑦} ≈ {𝑥}) ∧ (((𝑤 ∖ {𝑦}) ∩ {𝑦}) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ {𝑥}) = ∅)) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}) ≈ (𝑥 ∪ {𝑥}))
113104, 111, 112syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥𝑥 ∈ ω) → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}) ≈ (𝑥 ∪ {𝑥}))
114 difsnid 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝑤 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}) = 𝑤)
115114eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝑤𝑤 = ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}))
116 df-suc 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 suc 𝑥 = (𝑥 ∪ {𝑥})
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝑤 → suc 𝑥 = (𝑥 ∪ {𝑥}))
118115, 117breq12d 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝑤 → (𝑤 ≈ suc 𝑥 ↔ ((𝑤 ∖ {𝑦}) ∪ {𝑦}) ≈ (𝑥 ∪ {𝑥})))
119113, 118syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝑤 → (((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥𝑥 ∈ ω) → 𝑤 ≈ suc 𝑥))
12097, 119sylan2i 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑤 → (((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 ∧ (𝑥𝑦𝑦 ∈ ω)) → 𝑤 ≈ suc 𝑥))
121120exp4d 638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑤 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∈ ω → 𝑤 ≈ suc 𝑥))))
122121com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑤 → (𝑦 ∈ ω → (𝑥𝑦 → ((𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥𝑤 ≈ suc 𝑥))))
123122imp4b 614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → 𝑤 ≈ suc 𝑥))
12496, 123jcad 556 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → (suc 𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤 ≈ suc 𝑥)))
125 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = suc 𝑥 → (𝑤𝑧𝑤 ≈ suc 𝑥))
126125rspcev 3449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((suc 𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤 ≈ suc 𝑥) → ∃𝑧 ∈ suc 𝑦𝑤𝑧)
127124, 126syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → ((𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ suc 𝑦𝑤𝑧))
128127exlimdv 2010 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (∃𝑥(𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ suc 𝑦𝑤𝑧))
129 df-rex 3056 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥))
130 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑥𝑤𝑧))
131130cbvrexv 3311 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥 ↔ ∃𝑧 ∈ suc 𝑦𝑤𝑧)
132128, 129, 1313imtr4g 285 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) → (∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
133132adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (∃𝑥𝑦 (𝑤 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
13491, 133syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑤𝑦 ∈ ω) ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
135134expl 649 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑤 → ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
13682eqelsuc 5967 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦𝑤 ∈ suc 𝑦)
13782enref 8156 . . . . . . . . . . 11 𝑤𝑤
138 breq2 4808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (𝑤𝑥𝑤𝑤))
139138rspcev 3449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ suc 𝑦𝑤𝑤) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)
140136, 137, 139sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)
1411402a1d 26 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
14250, 135, 141pm2.61ii 177 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ ∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥)) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥))
143142ex 449 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → (𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
14424, 25, 143alrimd 2231 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ω → (∀𝑤(𝑤𝑦 → ∃𝑥𝑦 𝑤𝑥) → ∀𝑤(𝑤 ⊊ suc 𝑦 → ∃𝑥 ∈ suc 𝑦𝑤𝑥)))
1458, 12, 16, 20, 23, 144finds 7258 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ∀𝑤(𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥))
146 psseq1 3836 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝐴𝐵𝐴))
147 breq1 4807 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝑥𝐵𝑥))
148147rexbidv 3190 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐵 → (∃𝑥𝐴 𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥))
149146, 148imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → ((𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥) ↔ (𝐵𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)))
150149spcgv 3433 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (∀𝑤(𝑤𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝑤𝑥) → (𝐵𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)))
151145, 150syl5 34 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)))
152151com3l 89 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ V → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)))
153152imp 444 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ V → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥))
1544, 153mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥𝐴 𝐵𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383  ∀wal 1630   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715   ⊊ wpss 3716  ∅c0 4058  {csn 4321  ⟨cop 4327   class class class wbr 4804  Ord word 5883  suc csuc 5886  –1-1-onto→wf1o 6048  ωcom 7231   ≈ cen 8120 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-om 7232  df-en 8124 This theorem is referenced by:  ssnnfi  8346
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