Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psropprmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psropprmul 19781
 Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psropprmul.y 𝑌 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psropprmul.s 𝑆 = (oppr𝑅)
psropprmul.z 𝑍 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
psropprmul.t · = (.r𝑌)
psropprmul.u = (.r𝑍)
psropprmul.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
psropprmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))

Proof of Theorem psropprmul
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 𝑎 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2748 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2748 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 ringcmn 18752 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
433ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
54adantr 472 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ CMnd)
6 ovex 6829 . . . . . . . 8 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
76rabex 4952 . . . . . . 7 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
87rabex 4952 . . . . . 6 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ V)
10 simpll1 1231 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑅 ∈ Ring)
11 psropprmul.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12 eqid 2748 . . . . . . . . . 10 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13 psropprmul.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑌)
14 simp3 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
1511, 1, 12, 13, 14psrelbas 19552 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1615adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
17 elrabi 3487 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} → 𝑒 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
18 ffvelrn 6508 . . . . . . . 8 ((𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑒 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅))
1916, 17, 18syl2an 495 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅))
20 simp2 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹𝐵)
2111, 1, 12, 13, 20psrelbas 19552 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2221ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
23 ssrab2 3816 . . . . . . . . 9 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ⊆ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
24 reldmpsr 19534 . . . . . . . . . . . . 13 Rel dom mPwSer
2511, 13, 24strov2rcl 16095 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝐵𝐼 ∈ V)
26253ad2ant3 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐼 ∈ V)
2726ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝐼 ∈ V)
28 simplr 809 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
29 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
30 eqid 2748 . . . . . . . . . . 11 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} = {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}
3112, 30psrbagconcl 19546 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑒) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
3227, 28, 29, 31syl3anc 1463 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑒) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
3323, 32sseldi 3730 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑒) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
3422, 33ffvelrnd 6511 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)) ∈ (Base‘𝑅))
35 eqid 2748 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
361, 35ringcl 18732 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))) ∈ (Base‘𝑅))
3710, 19, 34, 36syl3anc 1463 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))) ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2748 . . . . . 6 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) = (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))
3937, 38fmptd 6536 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}⟶(Base‘𝑅))
40 mptexg 6636 . . . . . . 7 ({𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ V → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∈ V)
418, 40mp1i 13 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∈ V)
42 funmpt 6075 . . . . . . 7 Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))
4342a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))
44 fvex 6350 . . . . . . 7 (0g𝑅) ∈ V
4544a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (0g𝑅) ∈ V)
4612psrbaglefi 19545 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ Fin)
4726, 46sylan 489 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ Fin)
48 suppssdm 7464 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))
4938dmmptss 5780 . . . . . . . 8 dom (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}
5048, 49sstri 3741 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}
5150a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
52 suppssfifsupp 8443 . . . . . 6 ((((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∈ V ∧ Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ Fin ∧ ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) finSupp (0g𝑅))
5341, 43, 45, 47, 51, 52syl32anc 1471 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) finSupp (0g𝑅))
5412, 30psrbagconf1o 19547 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}–1-1-onto→{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
5526, 54sylan 489 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}–1-1-onto→{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
561, 2, 5, 9, 39, 53, 55gsumf1o 18488 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))) = (𝑅 Σg ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)))))
5726ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝐼 ∈ V)
58 simplr 809 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
59 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
6012, 30psrbagconcl 19546 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑐) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
6157, 58, 59, 60syl3anc 1463 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑐) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
62 eqidd 2749 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)))
63 eqidd 2749 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) = (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))
64 fveq2 6340 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → (𝐺𝑒) = (𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))
65 oveq2 6809 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → (𝑏𝑓𝑒) = (𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))
6665fveq2d 6344 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → (𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)) = (𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))))
6764, 66oveq12d 6819 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))) = ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))))
6861, 62, 63, 67fmptco 6547 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))))))
6912psrbagf 19538 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
7026, 69sylan 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
7170adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
7226adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ V)
73 elrabi 3487 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
7412psrbagf 19538 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑐:𝐼⟶ℕ0)
7572, 73, 74syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑐:𝐼⟶ℕ0)
76 nn0cn 11465 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℂ)
77 nn0cn 11465 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℂ)
78 nncan 10473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℂ) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
7976, 77, 78syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
8079adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) ∧ (𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0)) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
8157, 71, 75, 80caonncan 7088 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)) = 𝑐)
8281fveq2d 6344 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))) = (𝐹𝑐))
8382oveq2d 6817 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))) = ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹𝑐)))
84 psropprmul.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (oppr𝑅)
85 eqid 2748 . . . . . . . . 9 (.r𝑆) = (.r𝑆)
861, 35, 84, 85opprmul 18797 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))) = ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹𝑐))
8783, 86syl6eqr 2800 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))
8887mpteq2dva 4884 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))
8968, 88eqtrd 2782 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))
9089oveq2d 6817 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)))) = (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
918mptex 6638 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))) ∈ V
9291a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))) ∈ V)
93 id 22 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
94 fvex 6350 . . . . . . . . 9 (oppr𝑅) ∈ V
9584, 94eqeltri 2823 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ V
9695a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 ∈ V)
9784, 1opprbas 18800 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
9897a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
99 eqid 2748 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
10084, 99oppradd 18801 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑆)
101100a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (+g𝑅) = (+g𝑆))
10292, 93, 96, 98, 101gsumpropd 17444 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
1031023ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
104103adantr 472 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
10556, 90, 1043eqtrd 2786 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
106105mpteq2dva 4884 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))))
107 psropprmul.t . . 3 · = (.r𝑌)
10811, 13, 35, 107, 12, 14, 20psrmulfval 19558 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐺 · 𝐹) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))))
109 psropprmul.z . . 3 𝑍 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
110 eqid 2748 . . 3 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
111 psropprmul.u . . 3 = (.r𝑍)
11297a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
113112psrbaspropd 19778 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
11411fveq2i 6343 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
11513, 114eqtri 2770 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
116109fveq2i 6343 . . . . 5 (Base‘𝑍) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
117113, 115, 1163eqtr4g 2807 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑍))
11820, 117eleqtrd 2829 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑍))
11914, 117eleqtrd 2829 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ (Base‘𝑍))
120109, 110, 85, 111, 12, 118, 119psrmulfval 19558 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))))
121106, 108, 1203eqtr4rd 2793 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  {crab 3042  Vcvv 3328   ⊆ wss 3703   class class class wbr 4792   ↦ cmpt 4869  ◡ccnv 5253  dom cdm 5254   “ cima 5257   ∘ ccom 5258  Fun wfun 6031  ⟶wf 6033  –1-1-onto→wf1o 6036  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801   ∘𝑓 cof 7048   ∘𝑟 cofr 7049   supp csupp 7451   ↑𝑚 cmap 8011  Fincfn 8109   finSupp cfsupp 8428  ℂcc 10097   ≤ cle 10238   − cmin 10429  ℕcn 11183  ℕ0cn0 11455  Basecbs 16030  +gcplusg 16114  .rcmulr 16115  0gc0g 16273   Σg cgsu 16274  CMndccmn 18364  Ringcrg 18718  opprcoppr 18793   mPwSer cmps 19524 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-ofr 7051  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-hash 13283  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-tset 16133  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-oppr 18794  df-psr 19529 This theorem is referenced by:  ply1opprmul  19782
 Copyright terms: Public domain W3C validator