MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrmulr 19586
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m · = (.r𝑅)
psrmulr.t = (.r𝑆)
psrmulr.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrmulr = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝐵   𝑦,𝑓,𝐷,𝑔,𝑘,𝑥   𝑓,,𝐼,𝑔,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥   𝑅,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,)   𝐷()   𝑅(𝑦,)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,,𝑘)   (𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,,𝑘)   · (𝑦,)

Proof of Theorem psrmulr
StepHypRef Expression
1 psrmulr.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 psrmulr.m . . . . 5 · = (.r𝑅)
5 eqid 2760 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6 psrmulr.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 psrmulr.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
8 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
91, 2, 6, 7, 8psrbas 19580 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
10 eqid 2760 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
111, 7, 3, 10psrplusg 19583 . . . . 5 (+g𝑆) = ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
12 eqid 2760 . . . . 5 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))))))) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
13 eqid 2760 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))
14 eqidd 2761 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
15 simpr 479 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14, 8, 15psrval 19564 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
1716fveq2d 6356 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (.r𝑆) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
18 psrmulr.t . . 3 = (.r𝑆)
19 fvex 6362 . . . . . 6 (Base‘𝑆) ∈ V
207, 19eqeltri 2835 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2120, 20mpt2ex 7415 . . . 4 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))))))) ∈ V
22 psrvalstr 19565 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
23 mulrid 16199 . . . . 5 .r = Slot (.r‘ndx)
24 snsstp3 4494 . . . . . 6 {⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩}
25 ssun1 3919 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2624, 25sstri 3753 . . . . 5 {⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2722, 23, 26strfv 16109 . . . 4 ((𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))))))) ∈ V → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))))))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
2821, 27ax-mp 5 . . 3 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))))))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
2917, 18, 283eqtr4g 2819 . 2 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
30 mpt20 6890 . . . 4 (𝑓 ∈ ∅, 𝑔 ∈ ∅ ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))))))) = ∅
3123str0 16113 . . . 4 ∅ = (.r‘∅)
3230, 31eqtr2i 2783 . . 3 (.r‘∅) = (𝑓 ∈ ∅, 𝑔 ∈ ∅ ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
33 reldmpsr 19563 . . . . . . 7 Rel dom mPwSer
3433ovprc 6846 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
351, 34syl5eq 2806 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
3635fveq2d 6356 . . . 4 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (.r𝑆) = (.r‘∅))
3718, 36syl5eq 2806 . . 3 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (.r‘∅))
3835fveq2d 6356 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
39 base0 16114 . . . . 5 ∅ = (Base‘∅)
4038, 7, 393eqtr4g 2819 . . . 4 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
41 mpt2eq12 6880 . . . 4 ((𝐵 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))))))) = (𝑓 ∈ ∅, 𝑔 ∈ ∅ ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
4240, 40, 41syl2anc 696 . . 3 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))))))) = (𝑓 ∈ ∅, 𝑔 ∈ ∅ ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
4332, 37, 423eqtr4a 2820 . 2 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
4429, 43pm2.61i 176 1 = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054  Vcvv 3340  cun 3713  c0 4058  {csn 4321  {ctp 4325  cop 4327   class class class wbr 4804  cmpt 4881   × cxp 5264  ccnv 5265  cima 5269  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  𝑓 cof 7060  𝑟 cofr 7061  𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  1c1 10129  cle 10267  cmin 10458  cn 11212  9c9 11269  0cn0 11484  ndxcnx 16056  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  .rcmulr 16144  Scalarcsca 16146   ·𝑠 cvsca 16147  TopSetcts 16149  TopOpenctopn 16284  tcpt 16301   Σg cgsu 16303   mPwSer cmps 19553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-psr 19558
This theorem is referenced by:  psrmulfval  19587  psrsca  19591  psrvscafval  19592
  Copyright terms: Public domain W3C validator