MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrmulfval 19599
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m · = (.r𝑅)
psrmulr.t = (.r𝑆)
psrmulr.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrmulfval.i (𝜑𝐹𝐵)
psrmulfval.r (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrmulfval (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑦,𝑘,𝐷,𝑥   ,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑥   · ,𝑘,𝑥   𝑅,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,)   𝐵(𝑦,)   𝐷()   𝑅(𝑦,)   𝑆(𝑥,𝑦,,𝑘)   (𝑥,𝑦,,𝑘)   · (𝑦,)   𝐹(𝑦,)   𝐺(𝑦,)

Proof of Theorem psrmulfval
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulfval.i . 2 (𝜑𝐹𝐵)
2 psrmulfval.r . 2 (𝜑𝐺𝐵)
3 fveq1 6331 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
4 fveq1 6331 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)) = (𝐺‘(𝑘𝑓𝑥)))
53, 4oveqan12d 6811 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘𝑓𝑥))))
65mpteq2dv 4877 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘𝑓𝑥)))))
76oveq2d 6808 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘𝑓𝑥))))))
87mpteq2dv 4877 . . 3 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
9 psrmulr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10 psrmulr.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
11 psrmulr.m . . . 4 · = (.r𝑅)
12 psrmulr.t . . . 4 = (.r𝑆)
13 psrmulr.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
149, 10, 11, 12, 13psrmulr 19598 . . 3 = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
15 ovex 6822 . . . . 5 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
1613, 15rabex2 4945 . . . 4 𝐷 ∈ V
1716mptex 6629 . . 3 (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘𝑓𝑥)))))) ∈ V
188, 14, 17ovmpt2a 6937 . 2 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
191, 2, 18syl2anc 565 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  {crab 3064   class class class wbr 4784  cmpt 4861  ccnv 5248  cima 5252  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑓 cof 7041  𝑟 cofr 7042  𝑚 cmap 8008  Fincfn 8108  cle 10276  cmin 10467  cn 11221  0cn0 11493  Basecbs 16063  .rcmulr 16149   Σg cgsu 16308   mPwSer cmps 19565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-tset 16167  df-psr 19570
This theorem is referenced by:  psrmulval  19600  psrmulcllem  19601  psrdi  19620  psrdir  19621  psrass23l  19622  psrcom  19623  psrass23  19624  resspsrmul  19631  mplmul  19657  psropprmul  19822  coe1mul2  19853
  Copyright terms: Public domain W3C validator