Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrlinv 19612
 Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psrnegcl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrnegcl.i 𝑁 = (invg𝑅)
psrnegcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrnegcl.z (𝜑𝑋𝐵)
psrlinv.o 0 = (0g𝑅)
psrlinv.p + = (+g𝑆)
Assertion
Ref Expression
psrlinv (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = (𝐷 × { 0 }))
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psrlinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrnegcl.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2 ovex 6823 . . . . 5 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
31, 2rabex2 4948 . . . 4 𝐷 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
5 fvexd 6344 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑁‘(𝑋𝑥)) ∈ V)
6 psrgrp.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 psrnegcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
9 psrnegcl.z . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
106, 7, 1, 8, 9psrelbas 19594 . . . 4 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1110ffvelrnda 6502 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1210feqmptd 6391 . . . 4 (𝜑𝑋 = (𝑥𝐷 ↦ (𝑋𝑥)))
13 psrnegcl.i . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
14 psrgrp.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
157, 13, 14grpinvf1o 17693 . . . . . 6 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅))
16 f1of 6278 . . . . . 6 (𝑁:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑅) → 𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
1817feqmptd 6391 . . . 4 (𝜑𝑁 = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑁𝑦)))
19 fveq2 6332 . . . 4 (𝑦 = (𝑋𝑥) → (𝑁𝑦) = (𝑁‘(𝑋𝑥)))
2011, 12, 18, 19fmptco 6539 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
214, 5, 11, 20, 12offval2 7061 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∘𝑓 (+g𝑅)𝑋) = (𝑥𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥))))
22 eqid 2771 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
23 psrlinv.p . . 3 + = (+g𝑆)
24 psrgrp.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
256, 24, 14, 1, 13, 8, 9psrnegcl 19611 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
266, 8, 22, 23, 25, 9psradd 19597 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = ((𝑁𝑋) ∘𝑓 (+g𝑅)𝑋))
27 psrlinv.o . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
287, 22, 27, 13grplinv 17676 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥)) = 0 )
2914, 11, 28syl2an2r 664 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥)) = 0 )
3029mpteq2dva 4878 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥))) = (𝑥𝐷0 ))
31 fconstmpt 5303 . . 3 (𝐷 × { 0 }) = (𝑥𝐷0 )
3230, 31syl6reqr 2824 . 2 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) = (𝑥𝐷 ↦ ((𝑁‘(𝑋𝑥))(+g𝑅)(𝑋𝑥))))
3321, 26, 323eqtr4d 2815 1 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = (𝐷 × { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351  {csn 4316   ↦ cmpt 4863   × cxp 5247  ◡ccnv 5248   “ cima 5252   ∘ ccom 5253  ⟶wf 6027  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ∘𝑓 cof 7042   ↑𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109  ℕcn 11222  ℕ0cn0 11494  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631   mPwSer cmps 19566 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-psr 19571 This theorem is referenced by:  psrgrp  19613  psrneg  19615
 Copyright terms: Public domain W3C validator