MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrelbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrelbas 19594
Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrelbas.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrelbas (𝜑𝑋:𝐷𝐾)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrelbas
StepHypRef Expression
1 psrelbas.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
2 psrbas.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3 psrbas.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 psrbas.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5 psrbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
6 reldmpsr 19576 . . . . . . 7 Rel dom mPwSer
76, 2, 5elbasov 16128 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
98simpld 482 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
102, 3, 4, 5, 9psrbas 19593 . . 3 (𝜑𝐵 = (𝐾𝑚 𝐷))
111, 10eleqtrd 2852 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐾𝑚 𝐷))
12 fvex 6342 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
133, 12eqeltri 2846 . . 3 𝐾 ∈ V
14 ovex 6823 . . . 4 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
154, 14rabex2 4948 . . 3 𝐷 ∈ V
1613, 15elmap 8038 . 2 (𝑋 ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↔ 𝑋:𝐷𝐾)
1711, 16sylib 208 1 (𝜑𝑋:𝐷𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351  ccnv 5248  cima 5252  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109  cn 11222  0cn0 11494  Basecbs 16064   mPwSer cmps 19566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-psr 19571
This theorem is referenced by:  psrelbasfun  19595  psraddcl  19598  psrmulcllem  19602  psrvscaval  19607  psrvscacl  19608  psr0lid  19610  psrnegcl  19611  psrlinv  19612  psrgrp  19613  psrlmod  19616  psrlidm  19618  psrridm  19619  psrass1  19620  psrdi  19621  psrdir  19622  psrass23l  19623  psrcom  19624  psrass23  19625  resspsrmul  19632  mplelf  19648  mplsubglem  19649  mpllsslem  19650  mplsubrglem  19654  mvrcl  19664  subrgasclcl  19714  psrplusgpropd  19821  psropprmul  19823
  Copyright terms: Public domain W3C validator