MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrdir 19609
Description: Distributive law for the ring of power series (right-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrass.z (𝜑𝑍𝐵)
psrdi.a + = (+g𝑆)
Assertion
Ref Expression
psrdir (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrdir
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrass.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 psrdi.a . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g𝑆)
5 psrass.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋𝐵)
6 psrass.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 19584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌))
87fveq1d 6354 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌)‘𝑥))
98ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌)‘𝑥))
10 ssrab2 3828 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ⊆ 𝐷
11 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
1210, 11sseldi 3742 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥𝐷)
13 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14 psrass.d . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
151, 13, 14, 2, 5psrelbas 19581 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1615ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 6207 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑋 Fn 𝐷)
181, 13, 14, 2, 6psrelbas 19581 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1918ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2019ffnd 6207 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌 Fn 𝐷)
21 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
2214, 21rabex2 4966 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
24 inidm 3965 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐷) = 𝐷
25 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑋𝑥) = (𝑋𝑥))
26 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑌𝑥) = (𝑌𝑥))
2717, 20, 23, 23, 24, 25, 26ofval 7071 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌)‘𝑥) = ((𝑋𝑥)(+g𝑅)(𝑌𝑥)))
2812, 27mpdan 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌)‘𝑥) = ((𝑋𝑥)(+g𝑅)(𝑌𝑥)))
299, 28eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋 + 𝑌)‘𝑥) = ((𝑋𝑥)(+g𝑅)(𝑌𝑥)))
3029oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))) = (((𝑋𝑥)(+g𝑅)(𝑌𝑥))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
31 psrring.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3231ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
3316, 12ffvelrnd 6523 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
3419, 12ffvelrnd 6523 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
35 psrass.z . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍𝐵)
361, 13, 14, 2, 35psrelbas 19581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
3736ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
38 psrring.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼𝑉)
3938ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐼𝑉)
40 simplr 809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘𝐷)
41 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} = {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}
4214, 41psrbagconcl 19575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
4339, 40, 11, 42syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
4410, 43sseldi 3742 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷)
4537, 44ffvelrnd 6523 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
46 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4713, 3, 46ringdir 18767 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑋𝑥)(+g𝑅)(𝑌𝑥))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
4832, 33, 34, 45, 47syl13anc 1479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (((𝑋𝑥)(+g𝑅)(𝑌𝑥))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
4930, 48eqtrd 2794 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
5049mpteq2dva 4896 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))
5114psrbaglefi 19574 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
5238, 51sylan 489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
5313, 46ringcl 18761 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5432, 33, 45, 53syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5513, 46ringcl 18761 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5632, 34, 45, 55syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
57 eqidd 2761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
58 eqidd 2761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
5952, 54, 56, 57, 58offval2 7079 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))
6050, 59eqtr4d 2797 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))
6160oveq2d 6829 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
6231adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
63 ringcmn 18781 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
65 eqid 2760 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
66 eqid 2760 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
6713, 3, 64, 52, 54, 56, 65, 66gsummptfidmadd2 18526 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
6861, 67eqtrd 2794 . . 3 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
6968mpteq2dva 4896 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
70 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
71 ringgrp 18752 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7231, 71syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
731, 2, 4, 72, 5, 6psraddcl 19585 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
741, 2, 46, 70, 14, 73, 35psrmulfval 19587 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (((𝑋 + 𝑌)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
751, 2, 70, 31, 5, 35psrmulcl 19590 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ 𝐵)
761, 2, 70, 31, 6, 35psrmulcl 19590 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 × 𝑍) ∈ 𝐵)
771, 2, 3, 4, 75, 76psradd 19584 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑍) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑌 × 𝑍)))
7822a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
79 ovexd 6843 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V)
80 ovexd 6843 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V)
811, 2, 46, 70, 14, 5, 35psrmulfval 19587 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
821, 2, 46, 70, 14, 6, 35psrmulfval 19587 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 × 𝑍) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
8378, 79, 80, 81, 82offval2 7079 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑌 × 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
8477, 83eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑌𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
8569, 74, 843eqtr4d 2804 1 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) × 𝑍) = ((𝑋 × 𝑍) + (𝑌 × 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054  Vcvv 3340   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ccnv 5265  cima 5269  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  𝑟 cofr 7061  𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  cle 10267  cmin 10458  cn 11212  0cn0 11484  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  .rcmulr 16144   Σg cgsu 16303  Grpcgrp 17623  CMndccmn 18393  Ringcrg 18747   mPwSer cmps 19553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-psr 19558
This theorem is referenced by:  psrring  19613
  Copyright terms: Public domain W3C validator