MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrdi 19629
Description: Distributive law for the ring of power series (left-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrass.z (𝜑𝑍𝐵)
psrdi.a + = (+g𝑆)
Assertion
Ref Expression
psrdi (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrdi
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrass.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 psrdi.a . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g𝑆)
5 psrass.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝐵)
6 psrass.z . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 19605 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍))
87fveq1d 6356 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))
98ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))
10 ssrab2 3829 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ⊆ 𝐷
11 psrring.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼𝑉)
1211ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐼𝑉)
13 simplr 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘𝐷)
14 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
15 psrass.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16 eqid 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} = {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}
1715, 16psrbagconcl 19596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
1812, 13, 14, 17syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
1910, 18sseldi 3743 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷)
20 eqid 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
211, 20, 15, 2, 5psrelbas 19602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2221ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2322ffnd 6208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌 Fn 𝐷)
241, 20, 15, 2, 6psrelbas 19602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2524ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2625ffnd 6208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑍 Fn 𝐷)
27 ovex 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
2815, 27rabex2 4967 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
30 inidm 3966 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐷) = 𝐷
31 eqidd 2762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))
32 eqidd 2762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷) → (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) = (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))
3323, 26, 29, 29, 30, 31, 32ofval 7073 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷) → ((𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
3419, 33mpdan 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
359, 34eqtrd 2795 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
3635oveq2d 6831 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥))) = ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
37 psrring.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3837ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
39 psrass.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝐵)
401, 20, 15, 2, 39psrelbas 19602 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4140ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4210, 14sseldi 3743 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥𝐷)
4341, 42ffvelrnd 6525 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
4422, 19ffvelrnd 6525 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
4525, 19ffvelrnd 6525 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
46 eqid 2761 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4720, 3, 46ringdi 18787 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
4838, 43, 44, 45, 47syl13anc 1479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
4936, 48eqtrd 2795 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
5049mpteq2dva 4897 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))
5115psrbaglefi 19595 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
5211, 51sylan 489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
5320, 46ringcl 18782 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5438, 43, 44, 53syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5520, 46ringcl 18782 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5638, 43, 45, 55syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
57 eqidd 2762 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))
58 eqidd 2762 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
5952, 54, 56, 57, 58offval2 7081 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))
6050, 59eqtr4d 2798 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))) = ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))
6160oveq2d 6831 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
6237adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
63 ringcmn 18802 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
65 eqid 2761 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
66 eqid 2761 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
6720, 3, 64, 52, 54, 56, 65, 66gsummptfidmadd2 18547 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
6861, 67eqtrd 2795 . . 3 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
6968mpteq2dva 4897 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
70 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
71 ringgrp 18773 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7237, 71syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
731, 2, 4, 72, 5, 6psraddcl 19606 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝐵)
741, 2, 46, 70, 15, 39, 73psrmulfval 19608 . 2 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
751, 2, 70, 37, 39, 5psrmulcl 19611 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
761, 2, 70, 37, 39, 6psrmulcl 19611 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ 𝐵)
771, 2, 3, 4, 75, 76psradd 19605 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑋 × 𝑍)))
7828a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
79 ovexd 6845 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V)
80 ovexd 6845 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V)
811, 2, 46, 70, 15, 39, 5psrmulfval 19608 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
821, 2, 46, 70, 15, 39, 6psrmulfval 19608 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
8378, 79, 80, 81, 82offval2 7081 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑋 × 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
8477, 83eqtrd 2795 . 2 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
8569, 74, 843eqtr4d 2805 1 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  {crab 3055  Vcvv 3341   class class class wbr 4805  cmpt 4882  ccnv 5266  cima 5270  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  𝑓 cof 7062  𝑟 cofr 7063  𝑚 cmap 8026  Fincfn 8124  cle 10288  cmin 10479  cn 11233  0cn0 11505  Basecbs 16080  +gcplusg 16164  .rcmulr 16165   Σg cgsu 16324  Grpcgrp 17644  CMndccmn 18414  Ringcrg 18768   mPwSer cmps 19574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-ofr 7065  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-tset 16183  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-psr 19579
This theorem is referenced by:  psrring  19634
  Copyright terms: Public domain W3C validator