MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrcom 19623
Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrcom.c (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
psrcom (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2770 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 psrring.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 18788 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
65adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7 psrring.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
8 psrass.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbaglefi 19586 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ Fin)
107, 9sylan 561 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ Fin)
113ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
12 psrring.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
13 psrass.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑆)
14 psrass.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐵)
1512, 1, 8, 13, 14psrelbas 19593 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1615ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
18 breq1 4787 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑘 → (𝑔𝑟𝑥𝑘𝑟𝑥))
1918elrab 3513 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↔ (𝑘𝐷𝑘𝑟𝑥))
2017, 19sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑘𝐷𝑘𝑟𝑥))
2120simpld 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘𝐷)
2216, 21ffvelrnd 6503 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
23 psrass.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐵)
2412, 1, 8, 13, 23psrelbas 19593 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2524ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
267ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
27 simplr 744 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥𝐷)
288psrbagf 19579 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
2926, 21, 28syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
3020simprd 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘𝑟𝑥)
318psrbagcon 19585 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑘:𝐼⟶ℕ0𝑘𝑟𝑥)) → ((𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑘) ∘𝑟𝑥))
3226, 27, 29, 30, 31syl13anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑘) ∘𝑟𝑥))
3332simpld 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷)
3425, 33ffvelrnd 6503 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
35 eqid 2770 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
361, 35ringcl 18768 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
3711, 22, 34, 36syl3anc 1475 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2770 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))
3937, 38fmptd 6527 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}⟶(Base‘𝑅))
40 ovex 6822 . . . . . . . . . 10 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
418, 40rabex2 4945 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ V
4241a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐷 ∈ V)
43 rabexg 4942 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ V → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ V)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ V)
45 mptexg 6627 . . . . . . 7 ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ V → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∈ V)
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∈ V)
47 funmpt 6069 . . . . . . 7 Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))
4847a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))
49 fvexd 6344 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (0g𝑅) ∈ V)
50 suppssdm 7458 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))
5138dmmptss 5775 . . . . . . . 8 dom (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
5250, 51sstri 3759 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
5352a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
54 suppssfifsupp 8445 . . . . . 6 ((((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
5546, 48, 49, 10, 53, 54syl32anc 1483 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
56 eqid 2770 . . . . . . 7 {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} = {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
578, 56psrbagconf1o 19588 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}–1-1-onto→{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
587, 57sylan 561 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}–1-1-onto→{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
591, 2, 6, 10, 39, 55, 58gsumf1o 18523 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)))))
607ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
61 simplr 744 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥𝐷)
62 simpr 471 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
638, 56psrbagconcl 19587 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑥𝐷𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
6460, 61, 62, 63syl3anc 1475 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
65 eqidd 2771 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)))
66 eqidd 2771 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))
67 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))
68 oveq2 6800 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → (𝑥𝑓𝑘) = (𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))
6968fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → (𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)) = (𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))))
7067, 69oveq12d 6810 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))))
7164, 65, 66, 70fmptco 6538 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))))))
728psrbagf 19579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
737, 72sylan 561 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7473adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7574ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑥𝑧) ∈ ℕ0)
76 breq1 4787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝑗 → (𝑔𝑟𝑥𝑗𝑟𝑥))
7776elrab 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↔ (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑥))
7862, 77sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑥))
7978simpld 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗𝐷)
808psrbagf 19579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑗𝐷) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
8160, 79, 80syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
8281ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑗𝑧) ∈ ℕ0)
83 nn0cn 11503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑧) ∈ ℂ)
84 nn0cn 11503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗𝑧) ∈ ℂ)
85 nncan 10511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8683, 84, 85syl2an 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℕ0) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8775, 82, 86syl2anc 565 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8887mpteq2dva 4876 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)))) = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
89 ovex 6822 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V)
9174feqmptd 6391 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑥𝑧)))
9281feqmptd 6391 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
9360, 75, 82, 91, 92offval2 7060 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))))
9460, 75, 90, 91, 93offval2 7060 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)))))
9588, 94, 923eqtr4d 2814 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)) = 𝑗)
9695fveq2d 6336 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))) = (𝑌𝑗))
9796oveq2d 6808 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))) = ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
98 psrcom.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
9998ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ CRing)
10015ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
10178simprd 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗𝑟𝑥)
1028psrbagcon 19585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑗:𝐼⟶ℕ0𝑗𝑟𝑥)) → ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∘𝑟𝑥))
10360, 61, 81, 101, 102syl13anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∘𝑟𝑥))
104103simpld 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷)
105100, 104ffvelrnd 6503 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
10624ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
107106, 79ffvelrnd 6503 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑌𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
1081, 35crngcom 18769 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))
10999, 105, 107, 108syl3anc 1475 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))
11097, 109eqtrd 2804 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))
111110mpteq2dva 4876 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))
11271, 111eqtrd 2804 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))
113112oveq2d 6808 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))))
11459, 113eqtrd 2804 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))))
115114mpteq2dva 4876 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))))
116 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
11712, 13, 35, 116, 8, 14, 23psrmulfval 19599 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))))
11812, 13, 35, 116, 8, 23, 14psrmulfval 19599 . 2 (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))))
119115, 117, 1183eqtr4d 2814 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  {crab 3064  Vcvv 3349  wss 3721   class class class wbr 4784  cmpt 4861  ccnv 5248  dom cdm 5249  cima 5252  ccom 5253  Fun wfun 6025  wf 6027  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑓 cof 7041  𝑟 cofr 7042   supp csupp 7445  𝑚 cmap 8008  Fincfn 8108   finSupp cfsupp 8430  cc 10135  cle 10276  cmin 10467  cn 11221  0cn0 11493  Basecbs 16063  .rcmulr 16149  0gc0g 16307   Σg cgsu 16308  CMndccmn 18399  Ringcrg 18754  CRingccrg 18755   mPwSer cmps 19565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-ofr 7044  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-tset 16167  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-psr 19570
This theorem is referenced by:  psrcrng  19627
  Copyright terms: Public domain W3C validator