MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglesupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbaglesupp 19416
Description: The support of a dominated bag is smaller than the dominating bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglesupp ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbaglesupp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frnnn0supp 11387 . . 3 ((𝐼𝑉𝐺:𝐼⟶ℕ0) → (𝐺 supp 0) = (𝐺 “ ℕ))
213ad2antr2 1247 . 2 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐺 supp 0) = (𝐺 “ ℕ))
3 simpr2 1088 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
4 eldifi 3765 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ)) → 𝑥𝐼)
5 simpr3 1089 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → 𝐺𝑟𝐹)
6 ffn 6083 . . . . . . . . . 10 (𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺 Fn 𝐼)
73, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → 𝐺 Fn 𝐼)
8 psrbag.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbagf 19413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
1093ad2antr1 1246 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
11 ffn 6083 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐼⟶ℕ0𝐹 Fn 𝐼)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → 𝐹 Fn 𝐼)
13 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → 𝐼𝑉)
14 inidm 3855 . . . . . . . . 9 (𝐼𝐼) = 𝐼
15 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
16 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
177, 12, 13, 13, 14, 15, 16ofrfval 6947 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐺𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
185, 17mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
1918r19.21bi 2961 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
204, 19sylan2 490 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
2113, 10jca 553 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0))
22 frnnn0supp 11387 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
23 eqimss 3690 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
2421, 22, 233syl 18 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
25 c0ex 10072 . . . . . . 7 0 ∈ V
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → 0 ∈ V)
2710, 24, 13, 26suppssr 7371 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐹𝑥) = 0)
2820, 27breqtrd 4711 . . . 4 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) ≤ 0)
29 ffvelrn 6397 . . . . . 6 ((𝐺:𝐼⟶ℕ0𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
303, 4, 29syl2an 493 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
3130nn0ge0d 11392 . . . 4 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → 0 ≤ (𝐺𝑥))
3230nn0red 11390 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
33 0re 10078 . . . . 5 0 ∈ ℝ
34 letri3 10161 . . . . 5 (((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥) = 0 ↔ ((𝐺𝑥) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐺𝑥))))
3532, 33, 34sylancl 695 . . . 4 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → ((𝐺𝑥) = 0 ↔ ((𝐺𝑥) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐺𝑥))))
3628, 31, 35mpbir2and 977 . . 3 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) = 0)
373, 36suppss 7370 . 2 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐺 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
382, 37eqsstr3d 3673 1 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607   class class class wbr 4685  ccnv 5142  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑟 cofr 6938   supp csupp 7340  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  cr 9973  0cc0 9974  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-ofr 6940  df-om 7108  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331
This theorem is referenced by:  psrbaglecl  19417  psrbagcon  19419
  Copyright terms: Public domain W3C validator