MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev1 19724
Description: A bag of multipliers provides the conditions for a valid sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x · = (.g𝑇)
psrbagev1.z 0 = (0g𝑇)
psrbagev1.t (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b (𝜑𝐵𝐷)
psrbagev1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
psrbagev1.i (𝜑𝐼 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
psrbagev1 (𝜑 → ((𝐵𝑓 · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐶()   𝐷()   𝑇()   · ()   𝐺()   0 ()

Proof of Theorem psrbagev1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
2 cmnmnd 18414 . . . . 5 (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
4 psrbagev1.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑇)
5 psrbagev1.x . . . . . 6 · = (.g𝑇)
64, 5mulgnn0cl 17765 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
763expb 1112 . . . 4 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
83, 7sylan 561 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐶)
9 psrbagev1.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
10 psrbagev1.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
11 psrbagev1.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
1211psrbagf 19579 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵:𝐼⟶ℕ0)
139, 10, 12syl2anc 565 . . 3 (𝜑𝐵:𝐼⟶ℕ0)
14 psrbagev1.g . . 3 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
15 inidm 3969 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
168, 13, 14, 9, 9, 15off 7058 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺):𝐼𝐶)
17 ovexd 6824 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺) ∈ V)
18 ffn 6185 . . . . . 6 (𝐵:𝐼⟶ℕ0𝐵 Fn 𝐼)
1913, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 Fn 𝐼)
20 ffn 6185 . . . . . 6 (𝐺:𝐼𝐶𝐺 Fn 𝐼)
2114, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
2219, 21, 9, 9, 15offn 7054 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼)
23 fnfun 6128 . . . 4 ((𝐵𝑓 · 𝐺) Fn 𝐼 → Fun (𝐵𝑓 · 𝐺))
2422, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐵𝑓 · 𝐺))
25 psrbagev1.z . . . . 5 0 = (0g𝑇)
26 fvex 6342 . . . . 5 (0g𝑇) ∈ V
2725, 26eqeltri 2845 . . . 4 0 ∈ V
2827a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
2911psrbagfsupp 19723 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝐼 ∈ V) → 𝐵 finSupp 0)
3010, 9, 29syl2anc 565 . . . 4 (𝜑𝐵 finSupp 0)
3130fsuppimpd 8437 . . 3 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ∈ Fin)
32 ssid 3771 . . . . 5 (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0)
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 supp 0) ⊆ (𝐵 supp 0))
344, 25, 5mulg0 17753 . . . . 5 (𝑧𝐶 → (0 · 𝑧) = 0 )
3534adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐶) → (0 · 𝑧) = 0 )
36 c0ex 10235 . . . . 5 0 ∈ V
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ V)
3833, 35, 13, 14, 9, 37suppssof1 7479 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))
39 suppssfifsupp 8445 . . 3 ((((𝐵𝑓 · 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝐵𝑓 · 𝐺) ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐵 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝐵𝑓 · 𝐺) supp 0 ) ⊆ (𝐵 supp 0))) → (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
4017, 24, 28, 31, 38, 39syl32anc 1483 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
4116, 40jca 495 1 (𝜑 → ((𝐵𝑓 · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  {crab 3064  Vcvv 3349  wss 3721   class class class wbr 4784  ccnv 5248  cima 5252  Fun wfun 6025   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑓 cof 7041   supp csupp 7445  𝑚 cmap 8008  Fincfn 8108   finSupp cfsupp 8430  0cc0 10137  cn 11221  0cn0 11493  Basecbs 16063  0gc0g 16307  Mndcmnd 17501  .gcmg 17747  CMndccmn 18399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-seq 13008  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mulg 17748  df-cmn 18401
This theorem is referenced by:  psrbagev2  19725  evlslem1  19729
  Copyright terms: Public domain W3C validator