Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagconf1o 19422
 Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.1 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹}
Assertion
Ref Expression
psrbagconf1o ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑥𝑆 ↦ (𝐹𝑓𝑥)):𝑆1-1-onto𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐹   𝑥,𝑉,𝑦   𝑓,𝐼,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆   𝑥,𝐷,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagconf1o
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . 2 (𝑥𝑆 ↦ (𝐹𝑓𝑥)) = (𝑥𝑆 ↦ (𝐹𝑓𝑥))
2 simpll 805 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐼𝑉)
3 simplr 807 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐹𝐷)
4 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
5 breq1 4688 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑟𝐹𝑥𝑟𝐹))
6 psrbagconf1o.1 . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹}
75, 6elrab2 3399 . . . . . . 7 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥𝐷𝑥𝑟𝐹))
84, 7sylib 208 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝐷𝑥𝑟𝐹))
98simpld 474 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐷)
10 psrbag.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
1110psrbagf 19413 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
122, 9, 11syl2anc 694 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
138simprd 478 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑟𝐹)
1410psrbagcon 19419 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝑥:𝐼⟶ℕ0𝑥𝑟𝐹)) → ((𝐹𝑓𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹𝑓𝑥) ∘𝑟𝐹))
152, 3, 12, 13, 14syl13anc 1368 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐹𝑓𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹𝑓𝑥) ∘𝑟𝐹))
16 breq1 4688 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝑓𝑥) → (𝑦𝑟𝐹 ↔ (𝐹𝑓𝑥) ∘𝑟𝐹))
1716, 6elrab2 3399 . . 3 ((𝐹𝑓𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹𝑓𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹𝑓𝑥) ∘𝑟𝐹))
1815, 17sylibr 224 . 2 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐹𝑓𝑥) ∈ 𝑆)
1918ralrimiva 2995 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → ∀𝑥𝑆 (𝐹𝑓𝑥) ∈ 𝑆)
20 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑓𝑥) = (𝐹𝑓𝑧))
2120eleq1d 2715 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑓𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑓𝑧) ∈ 𝑆))
2221rspccva 3339 . . 3 ((∀𝑥𝑆 (𝐹𝑓𝑥) ∈ 𝑆𝑧𝑆) → (𝐹𝑓𝑧) ∈ 𝑆)
2319, 22sylan 487 . 2 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐹𝑓𝑧) ∈ 𝑆)
2410psrbagf 19413 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2524adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2625ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝐹𝑛) ∈ ℕ0)
27 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝐼𝑉)
28 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . 11 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹} ⊆ 𝐷
296, 28eqsstri 3668 . . . . . . . . . 10 𝑆𝐷
30 simprr 811 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧𝑆)
3129, 30sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧𝐷)
3210psrbagf 19413 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑧𝐷) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
3327, 31, 32syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
3433ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑧𝑛) ∈ ℕ0)
3512adantrr 753 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
3635ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥𝑛) ∈ ℕ0)
37 nn0cn 11340 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑛) ∈ ℕ0 → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
38 nn0cn 11340 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
39 nn0cn 11340 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑛) ∈ ℂ)
40 subsub23 10324 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝑛) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) = (𝑥𝑛) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) = (𝑧𝑛)))
4137, 38, 39, 40syl3an 1408 . . . . . . 7 (((𝐹𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑧𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑛) ∈ ℕ0) → (((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) = (𝑥𝑛) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) = (𝑧𝑛)))
4226, 34, 36, 41syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) = (𝑥𝑛) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) = (𝑧𝑛)))
43 eqcom 2658 . . . . . 6 ((𝑥𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) = (𝑥𝑛))
44 eqcom 2658 . . . . . 6 ((𝑧𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) ↔ ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)) = (𝑧𝑛))
4542, 43, 443bitr4g 303 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑥𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)) ↔ (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛))))
46 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐼⟶ℕ0𝐹 Fn 𝐼)
4725, 46syl 17 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝐹 Fn 𝐼)
48 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝑧:𝐼⟶ℕ0𝑧 Fn 𝐼)
4933, 48syl 17 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧 Fn 𝐼)
50 inidm 3855 . . . . . . 7 (𝐼𝐼) = 𝐼
51 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑛))
52 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑧𝑛) = (𝑧𝑛))
5347, 49, 27, 27, 50, 51, 52ofval 6948 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐹𝑓𝑧)‘𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛)))
5453eqeq2d 2661 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑥𝑛) = ((𝐹𝑓𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑥𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑧𝑛))))
55 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝑥:𝐼⟶ℕ0𝑥 Fn 𝐼)
5635, 55syl 17 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑥 Fn 𝐼)
57 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑛))
5847, 56, 27, 27, 50, 51, 57ofval 6948 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐹𝑓𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛)))
5958eqeq2d 2661 . . . . 5 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑧𝑛) = ((𝐹𝑓𝑥)‘𝑛) ↔ (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑛) − (𝑥𝑛))))
6045, 54, 593bitr4d 300 . . . 4 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑥𝑛) = ((𝐹𝑓𝑧)‘𝑛) ↔ (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑓𝑥)‘𝑛)))
6160ralbidva 3014 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (∀𝑛𝐼 (𝑥𝑛) = ((𝐹𝑓𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑓𝑥)‘𝑛)))
6223adantrl 752 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑓𝑧) ∈ 𝑆)
6329, 62sseldi 3634 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑓𝑧) ∈ 𝐷)
6410psrbagf 19413 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝑓𝑧) ∈ 𝐷) → (𝐹𝑓𝑧):𝐼⟶ℕ0)
6527, 63, 64syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑓𝑧):𝐼⟶ℕ0)
66 ffn 6083 . . . . 5 ((𝐹𝑓𝑧):𝐼⟶ℕ0 → (𝐹𝑓𝑧) Fn 𝐼)
6765, 66syl 17 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑓𝑧) Fn 𝐼)
68 eqfnfv 6351 . . . 4 ((𝑥 Fn 𝐼 ∧ (𝐹𝑓𝑧) Fn 𝐼) → (𝑥 = (𝐹𝑓𝑧) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑥𝑛) = ((𝐹𝑓𝑧)‘𝑛)))
6956, 67, 68syl2anc 694 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝑥 = (𝐹𝑓𝑧) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑥𝑛) = ((𝐹𝑓𝑧)‘𝑛)))
7018adantrr 753 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑓𝑥) ∈ 𝑆)
7129, 70sseldi 3634 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑓𝑥) ∈ 𝐷)
7210psrbagf 19413 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝑓𝑥) ∈ 𝐷) → (𝐹𝑓𝑥):𝐼⟶ℕ0)
7327, 71, 72syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑓𝑥):𝐼⟶ℕ0)
74 ffn 6083 . . . . 5 ((𝐹𝑓𝑥):𝐼⟶ℕ0 → (𝐹𝑓𝑥) Fn 𝐼)
7573, 74syl 17 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝐹𝑓𝑥) Fn 𝐼)
76 eqfnfv 6351 . . . 4 ((𝑧 Fn 𝐼 ∧ (𝐹𝑓𝑥) Fn 𝐼) → (𝑧 = (𝐹𝑓𝑥) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑓𝑥)‘𝑛)))
7749, 75, 76syl2anc 694 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝑧 = (𝐹𝑓𝑥) ↔ ∀𝑛𝐼 (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑓𝑥)‘𝑛)))
7861, 69, 773bitr4d 300 . 2 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝑥 = (𝐹𝑓𝑧) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑓𝑥)))
791, 18, 23, 78f1o2d 6929 1 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑥𝑆 ↦ (𝐹𝑓𝑥)):𝑆1-1-onto𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  {crab 2945   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ◡ccnv 5142   “ cima 5146   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937   ∘𝑟 cofr 6938   ↑𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  ℂcc 9972   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331 This theorem is referenced by:  psrass1lem  19425  psrcom  19457  psropprmul  19656
 Copyright terms: Public domain W3C validator