MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagaddcl 19585
Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagaddcl ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 11530 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
21adantl 467 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
3 simp2 1131 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹𝐷)
4 psrbag.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
54psrbag 19579 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
653ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
73, 6mpbid 222 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
87simpld 482 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
9 simp3 1132 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺𝐷)
104psrbag 19579 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐺𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
11103ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
129, 11mpbid 222 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin))
1312simpld 482 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
14 simp1 1130 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐼𝑉)
15 inidm 3971 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
162, 8, 13, 14, 14, 15off 7059 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
17 frnnn0supp 11551 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) supp 0) = ((𝐹𝑓 + 𝐺) “ ℕ))
1814, 16, 17syl2anc 573 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) supp 0) = ((𝐹𝑓 + 𝐺) “ ℕ))
19 fvexd 6344 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ V)
20 fvexd 6344 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ V)
218feqmptd 6391 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
2213feqmptd 6391 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
2314, 19, 20, 21, 22offval2 7061 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝑓 + 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
2423oveq1d 6808 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) supp 0) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0))
2518, 24eqtr3d 2807 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) “ ℕ) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0))
26 frnnn0supp 11551 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
2714, 8, 26syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
287simprd 483 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
2927, 28eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
30 frnnn0supp 11551 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐺:𝐼⟶ℕ0) → (𝐺 supp 0) = (𝐺 “ ℕ))
3114, 13, 30syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 supp 0) = (𝐺 “ ℕ))
3212simprd 483 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)
3331, 32eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
34 unfi 8383 . . . . 5 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
3529, 33, 34syl2anc 573 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
36 ssun1 3927 . . . . . . . . 9 (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
38 c0ex 10236 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 0 ∈ V)
408, 37, 14, 39suppssr 7478 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝑥) = 0)
41 ssun2 3928 . . . . . . . . 9 (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
4241a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
4313, 42, 14, 39suppssr 7478 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝑥) = 0)
4440, 43oveq12d 6811 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) = (0 + 0))
45 00id 10413 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4644, 45syl6eq 2821 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) = 0)
4746, 14suppss2 7481 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
48 ssfi 8336 . . . 4 ((((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0) ∈ Fin)
4935, 47, 48syl2anc 573 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0) ∈ Fin)
5025, 49eqeltrd 2850 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
514psrbag 19579 . . 3 (𝐼𝑉 → ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹𝑓 + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
52513ad2ant1 1127 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹𝑓 + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
5316, 50, 52mpbir2and 692 1 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351  cdif 3720  cun 3721  wss 3723  cmpt 4863  ccnv 5248  cima 5252  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑓 cof 7042   supp csupp 7446  𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109  0cc0 10138   + caddc 10141  cn 11222  0cn0 11494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495
This theorem is referenced by:  mplmon2mul  19716  evlslem1  19730  tdeglem3  24039
  Copyright terms: Public domain W3C validator