MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1baslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr1baslem 19753
Description: The set of finite bags on 1𝑜 is just the set of all functions from 1𝑜 to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
psr1baslem (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Proof of Theorem psr1baslem
StepHypRef Expression
1 rabid2 3253 . 2 ((ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
2 df1o2 7737 . . . 4 1𝑜 = {∅}
3 snfi 8199 . . . 4 {∅} ∈ Fin
42, 3eqeltri 2831 . . 3 1𝑜 ∈ Fin
5 cnvimass 5639 . . . 4 (𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
6 elmapi 8041 . . . . 5 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → 𝑓:1𝑜⟶ℕ0)
7 fdm 6208 . . . . 5 (𝑓:1𝑜⟶ℕ0 → dom 𝑓 = 1𝑜)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → dom 𝑓 = 1𝑜)
95, 8syl5sseq 3790 . . 3 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝑓 “ ℕ) ⊆ 1𝑜)
10 ssfi 8341 . . 3 ((1𝑜 ∈ Fin ∧ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 1𝑜) → (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
114, 9, 10sylancr 698 . 2 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
121, 11mprgbir 3061 1 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1628  wcel 2135  {crab 3050  wss 3711  c0 4054  {csn 4317  ccnv 5261  dom cdm 5262  cima 5265  wf 6041  (class class class)co 6809  1𝑜c1o 7718  𝑚 cmap 8019  Fincfn 8117  cn 11208  0cn0 11480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-1o 7725  df-er 7907  df-map 8021  df-en 8118  df-fin 8121
This theorem is referenced by:  psr1bas  19759  ply1basf  19770  ply1plusgfvi  19810  coe1z  19831  coe1mul2  19837  coe1tm  19841  ply1coe  19864  deg1ldg  24047  deg1leb  24050  deg1val  24051
  Copyright terms: Public domain W3C validator