Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetsym 22335
 Description: The distance function of a pseudometric is symmetrical. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetsym ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))

Proof of Theorem psmetsym
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2 simp3 1132 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
3 simp2 1131 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
4 psmettri2 22334 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)))
51, 2, 3, 2, 4syl13anc 1478 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)))
6 psmet0 22333 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
763adant2 1125 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
87oveq2d 6812 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)) = ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0))
9 psmetcl 22332 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
10 xaddid1 12277 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝐴) ∈ ℝ* → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐵𝐷𝐴))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐵𝐷𝐴))
12113com23 1120 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 0) = (𝐵𝐷𝐴))
138, 12eqtrd 2805 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐵𝐷𝐵)) = (𝐵𝐷𝐴))
145, 13breqtrd 4813 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ (𝐵𝐷𝐴))
15 psmettri2 22334 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)))
161, 3, 2, 3, 15syl13anc 1478 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)))
17 psmet0 22333 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
18173adant3 1126 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
1918oveq2d 6812 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0))
20 psmetcl 22332 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
21 xaddid1 12277 . . . . 5 ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐵))
2220, 21syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐵))
2319, 22eqtrd 2805 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐴)) = (𝐴𝐷𝐵))
2416, 23breqtrd 4813 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
2593com23 1120 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) ∈ ℝ*)
26 xrletri3 12190 . . 3 (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐷𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴) ↔ ((𝐴𝐷𝐵) ≤ (𝐵𝐷𝐴) ∧ (𝐵𝐷𝐴) ≤ (𝐴𝐷𝐵))))
2720, 25, 26syl2anc 573 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴) ↔ ((𝐴𝐷𝐵) ≤ (𝐵𝐷𝐴) ∧ (𝐵𝐷𝐴) ≤ (𝐴𝐷𝐵))))
2814, 24, 27mpbir2and 692 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  ℝ*cxr 10279   ≤ cle 10281   +𝑒 cxad 12149  PsMetcpsmet 19945 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-xadd 12152  df-psmet 19953 This theorem is referenced by:  psmettri  22336  distspace  22341  elbl3ps  22416  blssps  22449  metustsym  22580  metideq  30276  metider  30277
 Copyright terms: Public domain W3C validator