MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmetf 22312
Description: The distance function of a pseudometric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetf (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)

Proof of Theorem psmetf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6382 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
2 ispsmet 22310 . . . 4 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
43ibi 256 . 2 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
54simpld 477 1 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340   class class class wbr 4804   × cxp 5264  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  *cxr 10265  cle 10267   +𝑒 cxad 12137  PsMetcpsmet 19932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-map 8025  df-xr 10270  df-psmet 19940
This theorem is referenced by:  psmetcl  22313  psmetxrge0  22319  psmetres2  22320  distspace  22322  metustss  22557  metustid  22560  metustsym  22561  metustexhalf  22562  metustfbas  22563  cfilucfil  22565  blval2  22568  metuel2  22571  restmetu  22576  metideq  30245  pstmxmet  30249
  Copyright terms: Public domain W3C validator