Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psmeasurelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmeasurelem 41005
Description: 𝑀 applied to a disjoint union of subsets of its domain is the sum of 𝑀 applied to such subset. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psmeasurelem.x (𝜑𝑋𝑉)
psmeasurelem.h (𝜑𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.m 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥)))
psmeasurelem.mf (𝜑𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.y (𝜑𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
psmeasurelem.dj (𝜑Disj 𝑦𝑌 𝑦)
Assertion
Ref Expression
psmeasurelem (𝜑 → (𝑀 𝑌) = (Σ^‘(𝑀𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem psmeasurelem
StepHypRef Expression
1 psmeasurelem.y . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
2 psmeasurelem.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
3 pwexg 4880 . . . . 5 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
5 ssexg 4837 . . . 4 ((𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝒫 𝑋 ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
61, 4, 5syl2anc 694 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ V)
7 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑌)
8 uniiun 4605 . . 3 𝑌 = 𝑦𝑌 𝑦
9 psmeasurelem.h . . . 4 (𝜑𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
10 elpwg 4199 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
116, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
121, 11mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
13 pwpwuni 39539 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
146, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
1512, 14mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋)
1615elpwid 4203 . . . 4 (𝜑 𝑌𝑋)
179, 16fssresd 6109 . . 3 (𝜑 → (𝐻 𝑌): 𝑌⟶(0[,]+∞))
18 psmeasurelem.dj . . 3 (𝜑Disj 𝑦𝑌 𝑦)
196, 7, 8, 17, 18sge0iun 40954 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 𝑌)) = (Σ^‘(𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))))
20 psmeasurelem.m . . . 4 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥)))
2120a1i 11 . . 3 (𝜑𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥))))
22 reseq2 5423 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (𝐻𝑥) = (𝐻 𝑌))
2322fveq2d 6233 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 𝑌)))
2423adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 𝑌)))
25 fvexd 6241 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 𝑌)) ∈ V)
2621, 24, 15, 25fvmptd 6327 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑌) = (Σ^‘(𝐻 𝑌)))
27 psmeasurelem.mf . . . . . 6 (𝜑𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
2827, 1fssresd 6109 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑌):𝑌⟶(0[,]+∞))
2928feqmptd 6288 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑌) = (𝑦𝑌 ↦ ((𝑀𝑌)‘𝑦)))
30 fvres 6245 . . . . . . 7 (𝑦𝑌 → ((𝑀𝑌)‘𝑦) = (𝑀𝑦))
317, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → ((𝑀𝑌)‘𝑦) = (𝑀𝑦))
3220a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥))))
33 reseq2 5423 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
3433fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻𝑦)))
3534adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻𝑦)))
361sselda 3636 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
37 fvexd 6241 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → (Σ^‘(𝐻𝑦)) ∈ V)
3832, 35, 36, 37fvmptd 6327 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑀𝑦) = (Σ^‘(𝐻𝑦)))
39 elssuni 4499 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑌𝑦 𝑌)
40 resabs1 5462 . . . . . . . . . 10 (𝑦 𝑌 → ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻𝑦))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑌 → ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻𝑦))
4241eqcomd 2657 . . . . . . . 8 (𝑦𝑌 → (𝐻𝑦) = ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))
4342adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐻𝑦) = ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))
4443fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (Σ^‘(𝐻𝑦)) = (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))
4531, 38, 443eqtrd 2689 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → ((𝑀𝑌)‘𝑦) = (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))
4645mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑌 ↦ ((𝑀𝑌)‘𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))))
4729, 46eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) = (𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))))
4847fveq2d 6233 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀𝑌)) = (Σ^‘(𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))))
4919, 26, 483eqtr4d 2695 1 (𝜑 → (𝑀 𝑌) = (Σ^‘(𝑀𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  𝒫 cpw 4191   cuni 4468  Disj wdisj 4652  cmpt 4762  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  [,]cicc 12216  Σ^csumge0 40897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-sumge0 40898
This theorem is referenced by:  psmeasure  41006
  Copyright terms: Public domain W3C validator