MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnunilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnunilem5 17960
Description: Lemma for psgnuni 17965. It is impossible to shift a transposition off the end because if the active transposition is at the right end, it is the only transposition moving 𝐴 in contradiction to this being a representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnunilem2.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnunilem2.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnunilem2.d (𝜑𝐷𝑉)
psgnunilem2.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnunilem2.id (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
psgnunilem2.l (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝐿)
psgnunilem2.ix (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝐿))
psgnunilem2.a (𝜑𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
psgnunilem2.al (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
psgnunilem5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem psgnunilem5
Dummy variables 𝑗 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3952 . . . 4 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 psgnunilem2.id . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
32difeq1d 3760 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
43dmeqd 5358 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
5 resss 5457 . . . . . . . . 9 ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
6 ssdif0 3975 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
75, 6mpbi 220 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
87dmeqi 5357 . . . . . . 7 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
9 dm0 5371 . . . . . . 7 dom ∅ = ∅
108, 9eqtri 2673 . . . . . 6 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
114, 10syl6eq 2701 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = ∅)
1211eleq2d 2716 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ ∅))
131, 12mtbiri 316 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
14 psgnunilem2.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑉)
15 psgnunilem2.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
1615symggrp 17866 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
17 grpmnd 17476 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
1814, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
19 psgnunilem2.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
20 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2119, 15, 20symgtrf 17935 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
22 sswrd 13345 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
24 psgnunilem2.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
2523, 24sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
26 swrdcl 13464 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺))
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺))
2820gsumwcl 17424 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺))
2918, 27, 28syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺))
3015, 20symgbasf1o 17849 . . . . . . 7 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷)
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷)
3231adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷)
33 wrdf 13342 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑇)
3424, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑇)
35 psgnunilem2.ix . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝐿))
36 psgnunilem2.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝐿)
3736oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^𝐿))
3835, 37eleqtrrd 2733 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
3934, 38ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑇)
4021, 39sseldi 3634 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺))
4115, 20symgbasf1o 17849 . . . . . . 7 ((𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4342adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4415, 20symgsssg 17933 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝑉 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺))
45 subgsubm 17663 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺) → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
4614, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
4746adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
48 fzossfz 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0..^𝐿) ⊆ (0...𝐿)
4948, 35sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝐿))
50 elfzuz3 12377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ𝐼))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐿 ∈ (ℤ𝐼))
5236, 51eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ (ℤ𝐼))
53 fzoss2 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑊) ∈ (ℤ𝐼) → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(#‘𝑊)))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(#‘𝑊)))
5554sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → 𝑠 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
5634ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊𝑠) ∈ 𝑇)
5721, 56sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
5855, 57syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
59 psgnunilem2.al . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ))
60 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑠 → (𝑊𝑘) = (𝑊𝑠))
6160difeq1d 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑠 → ((𝑊𝑘) ∖ I ) = ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6261dmeqd 5358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑠 → dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) = dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6362eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑠 → (𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
6463notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑠 → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
6564cbvralv 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6659, 65sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6766r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
68 difeq1 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6968dmeqd 5358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝑊𝑠) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7069sseq1d 3665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
71 disj2 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
72 disjsn 4278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7371, 72bitr3i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7470, 73syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
7574elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊𝑠) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ ((𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
7658, 67, 75sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊𝑠) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
77 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠))
7876, 77fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
7936oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...(#‘𝑊)) = (0...𝐿))
8049, 79eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ (0...(#‘𝑊)))
81 swrd0val 13466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐼 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑊 ↾ (0..^𝐼)))
8224, 80, 81syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑊 ↾ (0..^𝐼)))
8334feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 = (𝑠 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)))
8483reseq1d 5427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐼)) = ((𝑠 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)) ↾ (0..^𝐼)))
85 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0..^𝐼) ⊆ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝑠 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)) ↾ (0..^𝐼)) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
8652, 53, 853syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)) ↾ (0..^𝐼)) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
8782, 84, 863eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
8887feq1d 6068 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})}))
8978, 88mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
9089adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
91 iswrdi 13341 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
93 gsumwsubmcl 17422 . . . . . . . . . 10 (({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})}) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
9447, 92, 93syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
95 difeq1 3754 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
9695dmeqd 5358 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
9796sseq1d 3665 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
9897elrab 3396 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
9998simprbi 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
100 disj2 4057 . . . . . . . . . . 11 ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
101 disjsn 4278 . . . . . . . . . . 11 ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
102100, 101bitr3i 266 . . . . . . . . . 10 (dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
10399, 102sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
10494, 103syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
105 psgnunilem2.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
106105adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
107104, 106jca 553 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )))
108107olcd 407 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))))
109 excxor 1509 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ↔ ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))))
110108, 109sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )))
111 f1omvdco3 17915 . . . . 5 (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
11232, 43, 110, 111syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
11324adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
114 elfzo0 12548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐿))
115114simp2bi 1097 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
11635, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℕ)
11736, 116eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
118 wrdfin 13355 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ∈ Fin)
119 hashnncl 13195 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Fin → ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
12024, 118, 1193syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
121117, 120mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
122121adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 ≠ ∅)
123 swrdccatwrd 13514 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
124123eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩))
125113, 122, 124syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩))
12636oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
127126adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((#‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
128116nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
129 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
130 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
13135, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
132131zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
133128, 129, 132subadd2d 10449 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿 − 1) = 𝐼 ↔ (𝐼 + 1) = 𝐿))
134133biimpar 501 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐿 − 1) = 𝐼)
135127, 134eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((#‘𝑊) − 1) = 𝐼)
136 opeq2 4434 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) − 1) = 𝐼 → ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩ = ⟨0, 𝐼⟩)
137136oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))
138137adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))
139 lsw 13384 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
14024, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
141 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊𝐼))
142140, 141sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊𝐼))
143142s1eqd 13417 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
144138, 143oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
145135, 144syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
146125, 145eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
147146oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
14840s1cld 13419 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺))
149 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
15020, 149gsumccat 17425 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
15118, 27, 148, 150syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
152151adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
15320gsumws1 17423 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩) = (𝑊𝐼))
15440, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩) = (𝑊𝐼))
155154oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝑊𝐼)))
15615, 20, 149symgov 17856 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝑊𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
15729, 40, 156syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝑊𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
158155, 157eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
159158adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
160147, 152, 1593eqtrd 2689 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
161160difeq1d 3760 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
162161dmeqd 5358 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
163112, 162eleqtrrd 2733 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
16413, 163mtand 692 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) = 𝐿)
165 fzostep1 12624 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
16635, 165syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
167166ord 391 . 2 (𝜑 → (¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 1) = 𝐿))
168164, 167mt3d 140 1 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wxo 1504   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  cop 4216   class class class wbr 4685  cmpt 4762   I cid 5052  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  ccom 5147  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   lastS clsw 13324   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326   substr csubstr 13327  Basecbs 15904  +gcplusg 15988   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  SubMndcsubmnd 17381  Grpcgrp 17469  SubGrpcsubg 17635  SymGrpcsymg 17843  pmTrspcpmtr 17907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-xor 1505  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-tset 16007  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-symg 17844  df-pmtr 17908
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  17961
  Copyright terms: Public domain W3C validator