MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnuni 18126
Description: If the same permutation can be written in more than one way as a product of transpositions, the parity of those products must agree; otherwise the product of one with the inverse of the other would be an odd representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnuni.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnuni.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnuni.d (𝜑𝐷𝑉)
psgnuni.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.x (𝜑𝑋 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.e (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
Assertion
Ref Expression
psgnuni (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))

Proof of Theorem psgnuni
StepHypRef Expression
1 psgnuni.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
2 lencl 13520 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
43nn0zd 11687 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5 m1expcl 13090 . . . 4 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
76zcnd 11690 . 2 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
8 psgnuni.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Word 𝑇)
9 lencl 13520 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
1110nn0zd 11687 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
12 m1expcl 13090 . . . 4 ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
1413zcnd 11690 . 2 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ∈ ℂ)
15 neg1cn 11330 . . . 4 -1 ∈ ℂ
16 neg1ne0 11332 . . . 4 -1 ≠ 0
17 expne0i 13099 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
1815, 16, 17mp3an12 1562 . . 3 ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
1911, 18syl 17 . 2 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑋)) ≠ 0)
20 m1expaddsub 18125 . . . . 5 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
214, 11, 20syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
22 expsub 13115 . . . . . 6 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ)) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
2315, 16, 22mpanl12 682 . . . . 5 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
244, 11, 23syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) − (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
2521, 24eqtr3d 2807 . . 3 (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))))
26 revcl 13719 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
278, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
28 ccatlen 13557 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
291, 27, 28syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))))
30 revlen 13720 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
318, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(reverse‘𝑋)) = (♯‘𝑋))
3231oveq2d 6812 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝑊) + (♯‘(reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
3329, 32eqtrd 2805 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋)))
3433oveq2d 6812 . . . 4 (𝜑 → (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))) = (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))))
35 psgnuni.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
36 psgnuni.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
37 psgnuni.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
38 ccatcl 13556 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
391, 27, 38syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
40 psgnuni.e . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
4140fveq2d 6337 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)))
42 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4336, 35, 42symgtrinv 18099 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉𝑋 ∈ Word 𝑇) → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
4437, 8, 43syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
4541, 44eqtr2d 2806 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)))
4645oveq2d 6812 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))))
4735symggrp 18027 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
4837, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
49 grpmnd 17637 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
51 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5236, 35, 51symgtrf 18096 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
53 sswrd 13509 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
5554, 1sseldi 3750 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
5651gsumwcl 17585 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
5750, 55, 56syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
58 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
59 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
6051, 58, 59, 42grprinv 17677 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g𝐺))
6148, 57, 60syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g𝐺))
6246, 61eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = (0g𝐺))
6354, 27sseldi 3750 . . . . . . 7 (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺))
6451, 58gsumccat 17586 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
6550, 55, 63, 64syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
6635symgid 18028 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
6737, 66syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
6862, 65, 673eqtr4d 2815 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ( I ↾ 𝐷))
6935, 36, 37, 39, 68psgnunilem4 18124 . . . 4 (𝜑 → (-1↑(♯‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))) = 1)
7034, 69eqtr3d 2807 . . 3 (𝜑 → (-1↑((♯‘𝑊) + (♯‘𝑋))) = 1)
7125, 70eqtr3d 2807 . 2 (𝜑 → ((-1↑(♯‘𝑊)) / (-1↑(♯‘𝑋))) = 1)
727, 14, 19, 71diveq1d 11015 1 (𝜑 → (-1↑(♯‘𝑊)) = (-1↑(♯‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wss 3723   I cid 5157  ran crn 5251  cres 5252  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  cmin 10472  -cneg 10473   / cdiv 10890  0cn0 11499  cz 11584  cexp 13067  chash 13321  Word cword 13487   ++ cconcat 13489  reversecreverse 13493  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  SymGrpcsymg 18004  pmTrspcpmtr 18068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1613  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-splice 13500  df-reverse 13501  df-s2 13802  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-tset 16168  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-oppg 17983  df-symg 18005  df-pmtr 18069
This theorem is referenced by:  psgneu  18133  psgndiflemA  20163
  Copyright terms: Public domain W3C validator