Theorem psgnid 30148

Description: Permutation sign of the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
psgnid.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnid	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = 1)

Proof of Theorem psgnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
2	1	symgid 18013	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘(SymGrp‘𝐷)))
3	2	fveq2d 6348	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))))
4		psgnid.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝐷)
5		eqid 2752	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
6	1, 4, 5	psgnghm2 20121	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝐷) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
7		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (0g‘(SymGrp‘𝐷)) = (0g‘(SymGrp‘𝐷))
8		cnring 19962	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
9		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
10	9	ringmgp 18745	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
12		1ex 10219	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
13	12	prid1 4433	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
14		ax-1cn 10178	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	14	negcli 10533	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
16		prssi 4490	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → {1, -1} ⊆ ℂ)
17	14, 15, 16	mp2an 710	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ⊆ ℂ
18		cnfldbas 19944	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	9, 18	mgpbas 18687	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20		cnfld1 19965	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
21	9, 20	ringidval 18695	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22	5, 19, 21	ress0g 17512	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 1 ∈ {1, -1} ∧ {1, -1} ⊆ ℂ) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
23	11, 13, 17, 22	mp3an 1565	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
24	7, 23	ghmid 17859	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝐷) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))) = 1)
25	6, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘(0g‘(SymGrp‘𝐷))) = 1)
26	3, 25	eqtrd 2786	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝑆‘( I ↾ 𝐷)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ⊆ wss 3707  {cpr 4315   I cid 5165   ↾ cres 5260  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  Fincfn 8113  ℂcc 10118  1c1 10121  -cneg 10451   ↾_s cress 16052  0_gc0g 16294  Mndcmnd 17487   GrpHom cghm 17850  SymGrpcsymg 17989  pmSgncpsgn 18101  mulGrpcmgp 18681  Ringcrg 18739  ℂ_fldccnfld 19940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-addf 10199  ax-mulf 10200

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-xor 1606  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-ot 4322  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-word 13477  df-lsw 13478  df-concat 13479  df-s1 13480  df-substr 13481  df-splice 13482  df-reverse 13483  df-s2 13785  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-mhm 17528  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-subg 17784  df-ghm 17851  df-gim 17894  df-oppg 17968  df-symg 17990  df-pmtr 18054  df-psgn 18103  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-cring 18742  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-dvr 18875  df-drng 18943  df-cnfld 19941

This theorem is referenced by:  psgnfzto1st  30156