Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnfvalfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnfvalfi 18140
 Description: Function definition of the permutation sign function for permutations of finite sets. (Contributed by AV, 13-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfvalfi.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnfvalfi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnfvalfi.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnfvalfi.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnfvalfi (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 = (𝑥𝐵 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,𝑠,𝑤   𝑥,𝐵   𝐷,𝑠,𝑤   𝑤,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤,𝑠)   𝑇(𝑥,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑤,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑠)

Proof of Theorem psgnfvalfi
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnfvalfi.g . . 3 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
2 psgnfvalfi.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2771 . . 3 {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
4 psgnfvalfi.t . . 3 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
5 psgnfvalfi.n . . 3 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
61, 2, 3, 4, 5psgnfval 18127 . 2 𝑁 = (𝑥 ∈ {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
71, 2sygbasnfpfi 18139 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐵) → dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin)
87ralrimiva 3115 . . . . 5 (𝐷 ∈ Fin → ∀𝑝𝐵 dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin)
9 rabid2 3267 . . . . 5 (𝐵 = {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑝𝐵 dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin)
108, 9sylibr 224 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
1110eqcomd 2777 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = 𝐵)
1211mpteq1d 4873 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝑥 ∈ {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))) = (𝑥𝐵 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))
136, 12syl5eq 2817 1 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 = (𝑥𝐵 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065   ∖ cdif 3720   ↦ cmpt 4864   I cid 5157  dom cdm 5250  ran crn 5251  ℩cio 5991  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Fincfn 8113  1c1 10143  -cneg 10473  ↑cexp 13067  ♯chash 13321  Word cword 13487  Basecbs 16064   Σg cgsu 16309  SymGrpcsymg 18004  pmTrspcpmtr 18068  pmSgncpsgn 18116 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-tset 16168  df-symg 18005  df-psgn 18118 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator