MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnevpmb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnevpmb 20148
Description: A class is an even permutation if it is a permutation with sign 1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnevpmb (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))

Proof of Theorem psgnevpmb
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3364 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
3 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
42, 3syl6eqr 2823 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = 𝑁)
54cnveqd 5436 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷(pmSgn‘𝑑) = 𝑁)
65imaeq1d 5606 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → ((pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (𝑁 “ {1}))
7 df-evpm 18119 . . . . 5 pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ ((pmSgn‘𝑑) “ {1}))
8 fvex 6342 . . . . . . . 8 (pmSgn‘𝐷) ∈ V
93, 8eqeltri 2846 . . . . . . 7 𝑁 ∈ V
109cnvex 7260 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
1110imaex 7251 . . . . 5 (𝑁 “ {1}) ∈ V
126, 7, 11fvmpt 6424 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (𝑁 “ {1}))
131, 12syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = (𝑁 “ {1}))
1413eleq2d 2836 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (𝑁 “ {1})))
15 evpmss.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
16 eqid 2771 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
1715, 3, 16psgnghm2 20142 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
18 evpmss.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝑆)
19 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
2018, 19ghmf 17872 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
2117, 20syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
22 ffn 6185 . . 3 (𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁 Fn 𝑃)
23 fniniseg 6481 . . 3 (𝑁 Fn 𝑃 → (𝐹 ∈ (𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
2421, 22, 233syl 18 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
2514, 24bitrd 268 1 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  {csn 4316  {cpr 4318  ccnv 5248  cima 5252   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  1c1 10139  -cneg 10469  Basecbs 16064  s cress 16065   GrpHom cghm 17865  SymGrpcsymg 18004  pmSgncpsgn 18116  pmEvencevpm 18117  mulGrpcmgp 18697  fldccnfld 19961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1613  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-splice 13500  df-reverse 13501  df-s2 13802  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-oppg 17983  df-symg 18005  df-pmtr 18069  df-psgn 18118  df-evpm 18119  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-cnfld 19962
This theorem is referenced by:  psgnodpm  20149  psgnevpm  20150  evpmodpmf1o  20158  mdet0pr  20616
  Copyright terms: Public domain W3C validator