MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnco 20144
Description: Multiplicativity of the permutation sign function. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
psgnco ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃𝐺𝑃) → (𝑁‘(𝐹𝐺)) = ((𝑁𝐹) · (𝑁𝐺)))

Proof of Theorem psgnco
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 psgninv.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2771 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g𝑆)
41, 2, 3symgov 18017 . . . 4 ((𝐹𝑃𝐺𝑃) → (𝐹(+g𝑆)𝐺) = (𝐹𝐺))
543adant1 1124 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃𝐺𝑃) → (𝐹(+g𝑆)𝐺) = (𝐹𝐺))
65fveq2d 6337 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃𝐺𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g𝑆)𝐺)) = (𝑁‘(𝐹𝐺)))
7 psgninv.n . . . 4 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
8 eqid 2771 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
91, 7, 8psgnghm2 20142 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10 prex 5038 . . . . 5 {1, -1} ∈ V
11 eqid 2771 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
12 cnfldmul 19967 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
1311, 12mgpplusg 18701 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
148, 13ressplusg 16201 . . . . 5 ({1, -1} ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
1510, 14ax-mp 5 . . . 4 · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
162, 3, 15ghmlin 17873 . . 3 ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹𝑃𝐺𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g𝑆)𝐺)) = ((𝑁𝐹) · (𝑁𝐺)))
179, 16syl3an1 1166 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃𝐺𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g𝑆)𝐺)) = ((𝑁𝐹) · (𝑁𝐺)))
186, 17eqtr3d 2807 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃𝐺𝑃) → (𝑁‘(𝐹𝐺)) = ((𝑁𝐹) · (𝑁𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  {cpr 4319  ccom 5254  cfv 6030  (class class class)co 6796  Fincfn 8113  1c1 10143   · cmul 10147  -cneg 10473  Basecbs 16064  s cress 16065  +gcplusg 16149   GrpHom cghm 17865  SymGrpcsymg 18004  pmSgncpsgn 18116  mulGrpcmgp 18697  fldccnfld 19961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1613  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-splice 13500  df-reverse 13501  df-s2 13802  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-oppg 17983  df-symg 18005  df-pmtr 18069  df-psgn 18118  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-cnfld 19962
This theorem is referenced by:  psgnfzto1st  30195  mdetpmtr1  30229  madjusmdetlem4  30236
  Copyright terms: Public domain W3C validator