MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserulm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserulm 24221
Description: If 𝑆 is a region contained in a circle of radius 𝑀 < 𝑅, then the sequence of partial sums of the infinite series converges uniformly on 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
pserulm.h 𝐻 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
pserulm.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
pserulm.l (𝜑𝑀 < 𝑅)
pserulm.y (𝜑𝑆 ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
Assertion
Ref Expression
pserulm (𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,𝑦,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑦   𝑥,𝑖,𝑟   𝑖,𝐺,𝑗,𝑟,𝑦   𝑆,𝑖,𝑗,𝑦   𝜑,𝑖,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑖)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑟)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem pserulm
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑤 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserulm.y . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 0) → 𝑆 ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
3 0xr 10124 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
4 pserulm.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
54rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
6 icc0 12261 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*) → ((0[,]𝑀) = ∅ ↔ 𝑀 < 0))
73, 5, 6sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0[,]𝑀) = ∅ ↔ 𝑀 < 0))
87biimpar 501 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 < 0) → (0[,]𝑀) = ∅)
98imaeq2d 5501 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 < 0) → (abs “ (0[,]𝑀)) = (abs “ ∅))
10 ima0 5516 . . . . . 6 (abs “ ∅) = ∅
119, 10syl6eq 2701 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 0) → (abs “ (0[,]𝑀)) = ∅)
122, 11sseqtrd 3674 . . . 4 ((𝜑𝑀 < 0) → 𝑆 ⊆ ∅)
13 ss0 4007 . . . 4 (𝑆 ⊆ ∅ → 𝑆 = ∅)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝜑𝑀 < 0) → 𝑆 = ∅)
15 nn0uz 11760 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
16 0zd 11427 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
17 0zd 11427 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → 0 ∈ ℤ)
18 pserf.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
19 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
21 cnvimass 5520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ dom abs
22 absf 14121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs:ℂ⟶ℝ
2322fdmi 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom abs = ℂ
2421, 23sseqtri 3670 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ ℂ
251, 24syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2625sselda 3636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
2718, 20, 26psergf 24211 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
2827ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
2915, 17, 28serf 12869 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝐺𝑦)):ℕ0⟶ℂ)
3029ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖) ∈ ℂ)
3130an32s 863 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝑆) → (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖) ∈ ℂ)
32 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) = (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))
3331, 32fmptd 6425 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ)
34 cnex 10055 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
35 ssexg 4837 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
3625, 34, 35sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
3736adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
38 elmapg 7912 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ))
3934, 37, 38sylancr 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ))
4033, 39mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
41 pserulm.h . . . . 5 𝐻 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
4240, 41fmptd 6425 . . . 4 (𝜑𝐻:ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
43 eqidd 2652 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑗) = ((𝐺𝑦)‘𝑗))
44 pserf.r . . . . . . 7 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
451sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (abs “ (0[,]𝑀)))
46 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
47 elpreima 6377 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs Fn ℂ → (𝑦 ∈ (abs “ (0[,]𝑀)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀))))
4822, 46, 47mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (abs “ (0[,]𝑀)) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀)))
4945, 48sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀)))
5049simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀))
51 0re 10078 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
524adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
53 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)))
5451, 52, 53sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘𝑦) ∈ (0[,]𝑀) ↔ ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)))
5550, 54mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑦) ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑀))
5655simp1d 1093 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
5756rexrd 10127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ*)
585adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
59 iccssxr 12294 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6018, 19, 44radcnvcl 24216 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
6159, 60sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
6261adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6355simp3d 1095 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
64 pserulm.l . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 < 𝑅)
6564adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
6657, 58, 62, 63, 65xrlelttrd 12029 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘𝑦) < 𝑅)
6718, 20, 44, 26, 66radcnvlt2 24218 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ dom ⇝ )
6815, 17, 43, 28, 67isumcl 14536 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
69 pserf.f . . . . 5 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
7068, 69fmptd 6425 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
7115, 16, 42, 70ulm0 24190 . . 3 ((𝜑𝑆 = ∅) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
7214, 71syldan 486 . 2 ((𝜑𝑀 < 0) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
73 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
7473, 15syl6eleq 2740 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ‘0))
75 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7675adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7736ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑆 ∈ V)
78 mptexg 6525 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ V → (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)) ∈ V)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)) ∈ V)
80 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑦 → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑦))
8180fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐺𝑤)‘𝑚) = ((𝐺𝑦)‘𝑚))
8281cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑚))
83 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺𝑦)‘𝑚) = ((𝐺𝑦)‘𝑘))
8483mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑚)) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)))
8582, 84syl5eq 2697 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)))
86 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))
8785, 86fvmptg 6319 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)) ∈ V) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)))
8876, 79, 87syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)))
8937, 74, 88seqof 12898 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖) = (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
9089eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) = (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖))
9190mpteq2dva 4777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖)))
92 0z 11426 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
93 seqfn 12853 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0)
9515fneq2i 6024 . . . . . . . 8 (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0))
9694, 95mpbir 221 . . . . . . 7 seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0
97 dffn5 6280 . . . . . . 7 (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖)))
9896, 97mpbi 220 . . . . . 6 seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))))‘𝑖))
9991, 41, 983eqtr4g 2710 . . . . 5 (𝜑𝐻 = seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))))
10099adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻 = seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))))
101 0zd 11427 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 0 ∈ ℤ)
10236adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑆 ∈ V)
10319adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
10425sselda 3636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑆) → 𝑤 ∈ ℂ)
10518, 103, 104psergf 24211 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑆) → (𝐺𝑤):ℕ0⟶ℂ)
106105ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑤)‘𝑚) ∈ ℂ)
107106an32s 863 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐺𝑤)‘𝑚) ∈ ℂ)
108 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) = (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))
109107, 108fmptd 6425 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ)
11036adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
111 elmapg 7912 . . . . . . . . 9 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ))
11234, 110, 111sylancr 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)):𝑆⟶ℂ))
113109, 112mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
114113, 86fmptd 6425 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
115114adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
116 fex 6530 . . . . . . . 8 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
11722, 34, 116mp2an 708 . . . . . . 7 abs ∈ V
118 fvex 6239 . . . . . . 7 (𝐺𝑀) ∈ V
119117, 118coex 7160 . . . . . 6 (abs ∘ (𝐺𝑀)) ∈ V
120119a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs ∘ (𝐺𝑀)) ∈ V)
12119adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1224adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
123122recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
12418, 121, 123psergf 24211 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝐺𝑀):ℕ0⟶ℂ)
125 fco 6096 . . . . . . 7 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ (𝐺𝑀):ℕ0⟶ℂ) → (abs ∘ (𝐺𝑀)):ℕ0⟶ℝ)
12622, 124, 125sylancr 696 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs ∘ (𝐺𝑀)):ℕ0⟶ℝ)
127126ffvelrnda 6399 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘) ∈ ℝ)
12825ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
129 simprr 811 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑧𝑆)
130128, 129sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑧 ∈ ℂ)
131 simprl 809 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
132130, 131expcld 13048 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
133132abscld 14219 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑧𝑘)) ∈ ℝ)
134123adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℂ)
135134, 131expcld 13048 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝑀𝑘) ∈ ℂ)
136135abscld 14219 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑀𝑘)) ∈ ℝ)
13719ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
138137, 131ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
139138abscld 14219 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
140138absge0d 14227 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑘)))
141130abscld 14219 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
1424ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑀 ∈ ℝ)
143130absge0d 14227 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 0 ≤ (abs‘𝑧))
14463ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
145144ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ∀𝑦𝑆 (abs‘𝑦) ≤ 𝑀)
146 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑧 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝑧))
147146breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘𝑧) ≤ 𝑀))
148147rspcv 3336 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑆 → (∀𝑦𝑆 (abs‘𝑦) ≤ 𝑀 → (abs‘𝑧) ≤ 𝑀))
149129, 145, 148sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘𝑧) ≤ 𝑀)
150 leexp1a 12959 . . . . . . . . . 10 ((((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (abs‘𝑧) ∧ (abs‘𝑧) ≤ 𝑀)) → ((abs‘𝑧)↑𝑘) ≤ (𝑀𝑘))
151141, 142, 131, 143, 149, 150syl32anc 1374 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs‘𝑧)↑𝑘) ≤ (𝑀𝑘))
152130, 131absexpd 14235 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑧𝑘)) = ((abs‘𝑧)↑𝑘))
153134, 131absexpd 14235 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑀𝑘)) = ((abs‘𝑀)↑𝑘))
154 absid 14080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
1554, 154sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
156155adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
157156oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs‘𝑀)↑𝑘) = (𝑀𝑘))
158153, 157eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑀𝑘)) = (𝑀𝑘))
159151, 152, 1583brtr4d 4717 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(𝑧𝑘)) ≤ (abs‘(𝑀𝑘)))
160133, 136, 139, 140, 159lemul2ad 11002 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑧𝑘))) ≤ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑀𝑘))))
161138, 132absmuld 14237 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑧𝑘))))
162138, 135absmuld 14237 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑀𝑘))))
163160, 161, 1623brtr4d 4717 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) ≤ (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘))))
16436ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
165164, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)) ∈ V)
166131, 165, 87syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)))
167166fveq1d 6231 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧) = ((𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘))‘𝑧))
168 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
169168fveq1d 6231 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦)‘𝑘) = ((𝐺𝑧)‘𝑘))
170 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘)) = (𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘))
171 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑧)‘𝑘) ∈ V
172169, 170, 171fvmpt 6321 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑆 → ((𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘))‘𝑧) = ((𝐺𝑧)‘𝑘))
173172ad2antll 765 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((𝑦𝑆 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑘))‘𝑧) = ((𝐺𝑧)‘𝑘))
17418pserval2 24210 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
175130, 131, 174syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((𝐺𝑧)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
176167, 173, 1753eqtrd 2689 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
177176fveq2d 6233 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧)) = (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
178124adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (𝐺𝑀):ℕ0⟶ℂ)
179 fvco3 6314 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑀):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑘)))
180178, 131, 179syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑘)))
18118pserval2 24210 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑀)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘)))
182134, 131, 181syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((𝐺𝑀)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘)))
183182fveq2d 6233 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑘)) = (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘))))
184180, 183eqtrd 2685 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘) = (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑀𝑘))))
185163, 177, 1843brtr4d 4717 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑧𝑆)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑧)) ≤ ((abs ∘ (𝐺𝑀))‘𝑘))
18664adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝑀 < 𝑅)
187155, 186eqbrtrd 4707 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (abs‘𝑀) < 𝑅)
188 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚𝑖 = 𝑚)
189 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑚 → ((𝐺𝑀)‘𝑖) = ((𝐺𝑀)‘𝑚))
190189fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚 → (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑚)))
191188, 190oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑖))) = (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑚))))
192191cbvmptv 4783 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑖)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑚))))
19318, 121, 44, 123, 187, 192radcnvlt1 24217 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑀)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑀))) ∈ dom ⇝ ))
194193simprd 478 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑀))) ∈ dom ⇝ )
19515, 101, 102, 115, 120, 127, 185, 194mtest 24203 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑤𝑆 ↦ ((𝐺𝑤)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢𝑆))
196100, 195eqeltrd 2730 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆))
197 eldmg 5351 . . . . . 6 (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) → (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) ↔ ∃𝑓 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓))
198197ibi 256 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) → ∃𝑓 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓)
199 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓)
200 ulmcl 24180 . . . . . . . . . . 11 (𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓𝑓:𝑆⟶ℂ)
201200adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝑓:𝑆⟶ℂ)
202201feqmptd 6288 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝑓 = (𝑦𝑆 ↦ (𝑓𝑦)))
203 0zd 11427 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → 0 ∈ ℤ)
204 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑗) = ((𝐺𝑦)‘𝑗))
20527adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
206205ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑗) ∈ ℂ)
20742ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐻:ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
208 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
209 seqex 12843 . . . . . . . . . . . . . 14 seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ V
210209a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → seq0( + , (𝐺𝑦)) ∈ V)
211 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
21236ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ V)
213 mptexg 6525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ V → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ V)
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ V)
21541fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)) ∈ V) → (𝐻𝑖) = (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
216211, 214, 215syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑖) = (𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖)))
217216fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐻𝑖)‘𝑦) = ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))‘𝑦))
218 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑦𝑆)
219 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖) ∈ V
22032fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝑆 ∧ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖) ∈ V) → ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))
221218, 219, 220sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝑆 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))
222217, 221eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐻𝑖)‘𝑦) = (seq0( + , (𝐺𝑦))‘𝑖))
223 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓)
22415, 203, 207, 208, 210, 222, 223ulmclm 24186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → seq0( + , (𝐺𝑦)) ⇝ (𝑓𝑦))
22515, 203, 204, 206, 224isumclim 14532 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) ∧ 𝑦𝑆) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗) = (𝑓𝑦))
226225mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗)) = (𝑦𝑆 ↦ (𝑓𝑦)))
22769, 226syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ (𝑓𝑦)))
228202, 227eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝑓 = 𝐹)
229199, 228breqtrd 4711 . . . . . . 7 ((𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
230229ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹))
231230exlimdv 1901 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝑓𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹))
232198, 231syl5 34 . . . 4 (𝜑 → (𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹))
233232imp 444 . . 3 ((𝜑𝐻 ∈ dom (⇝𝑢𝑆)) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
234196, 233syldan 486 . 2 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝑀) → 𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
235 0red 10079 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23672, 234, 4, 235ltlecasei 10183 1 (𝜑𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccnv 5142  dom cdm 5143  cima 5146  ccom 5147   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  𝑚 cmap 7899  supcsup 8387  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  seqcseq 12841  cexp 12900  abscabs 14018  cli 14259  Σcsu 14460  𝑢culm 24175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ulm 24176
This theorem is referenced by:  psercn2  24222  pserdvlem2  24227
  Copyright terms: Public domain W3C validator