MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psergf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psergf 24386
Description: The sequence of terms in the infinite sequence defining a power series for fixed 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
psergf.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
psergf (𝜑 → (𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem psergf
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 radcnv.a . 2 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2 psergf.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3 ffvelrn 6500 . . . . . 6 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
43adantlr 694 . . . . 5 (((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
5 expcl 13085 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑚) ∈ ℂ)
65adantll 693 . . . . 5 (((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑚) ∈ ℂ)
74, 6mulcld 10262 . . . 4 (((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑚) · (𝑋𝑚)) ∈ ℂ)
8 eqid 2771 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑋𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑋𝑚)))
97, 8fmptd 6527 . . 3 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑋𝑚))):ℕ0⟶ℂ)
10 pser.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
1110pserval 24384 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝐺𝑋) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑋𝑚))))
1211adantl 467 . . . 4 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺𝑋) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑋𝑚))))
1312feq1d 6170 . . 3 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ ↔ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑋𝑚))):ℕ0⟶ℂ))
149, 13mpbird 247 . 2 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ)
151, 2, 14syl2anc 573 1 (𝜑 → (𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cmpt 4863  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136   · cmul 10143  0cn0 11494  cexp 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  24387  radcnvlem2  24388  radcnvlem3  24389  radcnv0  24390  radcnvlt2  24393  dvradcnv  24395  pserulm  24396  pserdvlem2  24402
  Copyright terms: Public domain W3C validator