MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdvlem2 24227
Description: Lemma for pserdv 24228. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
Assertion
Ref Expression
pserdvlem2 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdvlem2
Dummy variables 𝑚 𝑠 𝑤 𝑧 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11760 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 cnelprrecn 10067 . . 3 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 0zd 11427 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℤ)
5 fzfid 12812 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑘) ∈ Fin)
6 pserf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
7 pserf.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
87ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9 pserdv.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
10 cnxmet 22623 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
12 0cnd 10071 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℂ)
13 pserf.f . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
14 pserf.r . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
15 psercn.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
16 psercn.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
176, 13, 7, 14, 15, 16pserdvlem1 24226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
1817simp1d 1093 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
1918rpxrd 11911 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
20 blssm 22270 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
2111, 12, 19, 20syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
229, 21syl5eqss 3682 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
2322adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
2423sselda 3636 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
256, 8, 24psergf 24211 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
26 elfznn0 12471 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝑘) → 𝑖 ∈ ℕ0)
27 ffvelrn 6397 . . . . . . 7 (((𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
2825, 26, 27syl2an 493 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
295, 28fsumcl 14508 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
30 eqid 2651 . . . . 5 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖))
3129, 30fmptd 6425 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
32 cnex 10055 . . . . 5 ℂ ∈ V
33 ovex 6718 . . . . . 6 (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ V
349, 33eqeltri 2726 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3532, 34elmap 7928 . . . 4 ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
3631, 35sylibr 224 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵))
37 eqid 2651 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
3836, 37fmptd 6425 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝐵))
396, 13, 7, 14, 15, 16psercn 24225 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ))
40 cncff 22743 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
4241adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
436, 13, 7, 14, 15, 17psercnlem2 24223 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
4443simp2d 1094 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
459, 44syl5eqss 3682 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
4643simp3d 1095 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆)
4745, 46sstrd 3646 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵𝑆)
4842, 47fssresd 6109 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
49 0zd 11427 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 0 ∈ ℤ)
50 eqidd 2652 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑗) = ((𝐺𝑧)‘𝑗))
517ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5222sselda 3636 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℂ)
536, 51, 52psergf 24211 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ)
5453ffvelrnda 6399 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑗) ∈ ℂ)
5552abscld 14219 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
5655rexrd 10127 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ*)
5719adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
58 iccssxr 12294 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
596, 7, 14radcnvcl 24216 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
6058, 59sseldi 3634 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
6160ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑅 ∈ ℝ*)
62 0cn 10070 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
63 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
6463cnmetdval 22621 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
6552, 62, 64sylancl 695 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
6652subid1d 10419 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
6766fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘(𝑧 − 0)) = (abs‘𝑧))
6865, 67eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑧))
69 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
7069, 9syl6eleq 2740 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
7110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
72 0cnd 10071 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 0 ∈ ℂ)
73 elbl3 22244 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
7471, 57, 72, 52, 73syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
7570, 74mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
7668, 75eqbrtrrd 4709 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
7717simp3d 1095 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
7877adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
7956, 57, 61, 76, 78xrlttrd 12028 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) < 𝑅)
806, 51, 14, 52, 79radcnvlt2 24218 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ∈ dom ⇝ )
811, 49, 50, 54, 80isumclim2 14533 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ⇝ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8247sselda 3636 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝑆)
83 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
8483fveq1d 6231 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦)‘𝑗) = ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8584sumeq2sdv 14479 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
86 sumex 14462 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗) ∈ V
8785, 13, 86fvmpt 6321 . . . . 5 (𝑧𝑆 → (𝐹𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8882, 87syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8981, 88breqtrrd 4713 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ⇝ (𝐹𝑧))
90 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (0...𝑘) = (0...𝑚))
9190sumeq1d 14475 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))
9291mpteq2dv 4778 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9334mptex 6527 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ V
9492, 37, 93fvmpt 6321 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9594adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9695fveq1d 6231 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧))
9783fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐺𝑧)‘𝑖))
9897sumeq2sdv 14479 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
99 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))
100 sumex 14462 . . . . . . . 8 Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ V
10198, 99, 100fvmpt 6321 . . . . . . 7 (𝑧𝐵 → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
102101ad2antlr 763 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
103 eqidd 2652 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) = ((𝐺𝑧)‘𝑖))
104 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
105104, 1syl6eleq 2740 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
10653adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ)
107 elfznn0 12471 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
108 ffvelrn 6397 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
109106, 107, 108syl2an 493 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
110103, 105, 109fsumser 14505 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖) = (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
11196, 102, 1103eqtrd 2689 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
112111mpteq2dva 4777 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚)))
113 0z 11426 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
114 seqfn 12853 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0))
115113, 114ax-mp 5 . . . . . 6 seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0)
1161fneq2i 6024 . . . . . 6 (seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0))
117115, 116mpbir 221 . . . . 5 seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0
118 dffn5 6280 . . . . 5 (seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚)))
119117, 118mpbi 220 . . . 4 seq0( + , (𝐺𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
120112, 119syl6eqr 2703 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = seq0( + , (𝐺𝑧)))
121 fvres 6245 . . . 4 (𝑧𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
122121adantl 481 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
12389, 120, 1223brtr4d 4717 . 2 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) ⇝ ((𝐹𝐵)‘𝑧))
12494adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
125124oveq2d 6706 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))))
126 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
127126cnfldtop 22634 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
128126cnfldtopon 22633 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
129128toponunii 20769 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
130129restid 16141 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
131127, 130ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
132131eqcomi 2660 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
1332a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
134126cnfldtopn 22632 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
135134blopn 22352 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
13611, 12, 19, 135syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
1379, 136syl5eqel 2734 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
138137adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
139 fzfid 12812 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (0...𝑚) ∈ Fin)
1407ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1411403ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
14222adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
143142sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
1441433adant2 1100 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
1456, 141, 144psergf 24211 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
1461073ad2ant2 1103 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
147145, 146ffvelrnd 6400 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
1482a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
149 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
150140, 107, 149syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
151150adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
152143adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
153 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
154107adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
155 expcl 12918 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
156153, 154, 155syl2anr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
157152, 156syldan 486 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
158151, 157mulcld 10098 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)) ∈ ℂ)
159 ovexd 6720 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ V)
160 c0ex 10072 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
161 ovex 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ V
162160, 161ifex 4189 . . . . . . . . . 10 if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V
163162a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
164162a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
165 dvexp2 23762 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
166154, 165syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
16722ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
168137ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
169148, 156, 164, 166, 167, 132, 126, 168dvmptres 23771 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
170148, 157, 163, 169, 150dvmptcmul 23772 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
171148, 158, 159, 170dvmptcl 23767 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
1721713impa 1278 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
173107ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
1746pserval2 24210 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
175152, 173, 174syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
176175mpteq2dva 4777 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
177176oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))))
178177, 170eqtrd 2685 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
179132, 126, 133, 138, 139, 147, 172, 178dvmptfsum 23783 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
180125, 179eqtrd 2685 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
181180mpteq2dva 4777 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
182 nnssnn0 11333 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℕ0
183 resmpt 5484 . . . . . 6 (ℕ ⊆ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
184182, 183ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
185 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎𝑖) = (𝑥𝑖))
186185oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖)))
187186mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))))
188 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 + 1) = (𝑛 + 1))
189188fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
190188, 189oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
191 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → (𝑥𝑖) = (𝑥𝑛))
192190, 191oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
193192cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
194 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
195194fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑚 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
196194, 195oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
197 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
198 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) ∈ V
199196, 197, 198fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
200199oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
201200mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
202193, 201eqtr4i 2676 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛)))
203187, 202syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))))
204203cbvmptv 4783 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))))
205 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))
206205fveq1d 6231 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
207206sumeq2sdv 14479 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
208207cbvmptv 4783 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑧𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
209 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
210209adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
211210nn0cnd 11391 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
212140, 210ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
213211, 212mulcld 10098 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
214213, 197fmptd 6425 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))):ℕ0⟶ℂ)
215 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑗 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗))
216215seqeq3d 12849 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑗 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)))
217216eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑗 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ ))
218217cbvrabv 3230 . . . . . . . . 9 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }
219218supeq1i 8394 . . . . . . . 8 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
220205seqeq3d 12849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)))
221220fveq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
222221cbvmptv 4783 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
223 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚))
224223mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
225222, 224syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
226225cbvmptv 4783 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
22718rpred 11910 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ)
2286, 13, 7, 14, 15, 16psercnlem1 24224 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
229228simp1d 1093 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
230229rpxrd 11911 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
231204, 214, 219radcnvcl 24216 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
23258, 231sseldi 3634 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
233228simp2d 1094 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
234 cnvimass 5520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
235 absf 14121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs:ℂ⟶ℝ
236235fdmi 6090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom abs = ℂ
237234, 236sseqtri 3670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
23815, 237eqsstri 3668 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 ⊆ ℂ
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
240239sselda 3636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
241240abscld 14219 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
242229rpred 11910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
243 avglt2 11309 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
244241, 242, 243syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
245233, 244mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀)
246229rpge0d 11914 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ 𝑀)
247242, 246absidd 14205 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
248229rpcnd 11912 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℂ)
249 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑀 → (𝑤𝑖) = (𝑀𝑖))
250249oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑀 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))
251250mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑀 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
252 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑤 → (𝑎𝑖) = (𝑤𝑖))
253252oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑤 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖)))
254253mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑤 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))))
255254cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))))
256 nn0ex 11336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
257256mptex 6527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))) ∈ V
258251, 255, 257fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
259248, 258syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
260259seqeq3d 12849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀)) = seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))))
261 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑖))
262 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑖))
263261, 262oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)))
264263cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)))
265 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑖) = (𝑦𝑖))
266265oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
267266mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
268264, 267syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
269268cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
2706, 269eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
271 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑠 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑠))
272271seqeq3d 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑠 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑠)))
273272eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑠 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ))
274273cbvrabv 3230 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }
275274supeq1i 8394 . . . . . . . . . . . . . 14 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
27614, 275eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
277 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))
2787adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
279228simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
280247, 279eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) < 𝑅)
281270, 276, 277, 278, 248, 280dvradcnv 24220 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
282260, 281eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀)) ∈ dom ⇝ )
283204, 214, 219, 248, 282radcnvle 24219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
284247, 283eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
28519, 230, 232, 245, 284xrltletrd 12030 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
286204, 208, 214, 219, 226, 227, 285, 45pserulm 24221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)))
28722sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
288 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑖) = (𝑦𝑖))
289288oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))
290289mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
291 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))
292256mptex 6527 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))) ∈ V
293290, 291, 292fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
294287, 293syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
295294adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
296295fveq1d 6231 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘))
297 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 + 1) = (𝑘 + 1))
298297fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
299297, 298oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
300 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝑦𝑖) = (𝑦𝑘))
301299, 300oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
302 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))
303 ovex 6718 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V
304301, 302, 303fvmpt 6321 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
305304adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
306296, 305eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
307306sumeq2dv 14477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
308307mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
309286, 308breqtrd 4711 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
310 nnuz 11761 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
311 1e0p1 11590 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
312311fveq2i 6232 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
313310, 312eqtri 2673 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
314 1zzd 11446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 1 ∈ ℤ)
315 0zd 11427 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 0 ∈ ℤ)
316 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
317316nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
318317adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
3197ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
320 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
321319, 316, 320syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
322318, 321mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
323287, 155sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
324322, 323mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)) ∈ ℂ)
325324, 302fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))):ℕ0⟶ℂ)
326294feq1d 6068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦):ℕ0⟶ℂ ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))):ℕ0⟶ℂ))
327325, 326mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
328327ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑚) ∈ ℂ)
3291, 315, 328serf 12869 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)):ℕ0⟶ℂ)
330329ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
331330an32s 863 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
332 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))
333331, 332fmptd 6425 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
33432, 34elmap 7928 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
335333, 334sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵))
336 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))
337335, 336fmptd 6425 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝐵))
338 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ)
339338nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ≠ 0)
340339neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ¬ 𝑖 = 0)
341340iffalsed 4130 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
342341oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
343342sumeq2i 14473 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
344 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 1 ∈ ℤ)
345 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
346345ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑚 ∈ ℤ)
347278ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
348338nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
349347, 348, 149syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
350338adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ)
351350nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℂ)
352287adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
353 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
354338, 353syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
355 expcl 12918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑖 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
356352, 354, 355syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
357351, 356mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ ℂ)
358349, 357mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ ℂ)
359 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑖) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
360 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑖 = (𝑘 + 1))
361 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
362361oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) = (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))
363360, 362oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
364359, 363oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
365344, 344, 346, 358, 364fsumshftm 14557 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
366343, 365syl5eq 2697 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
367 fz1ssfz0 12474 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚)
368367a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
369342adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
370369, 358eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
371 eldif 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) ↔ (𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
372 elfzuz2 12384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
373 elfzp12 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ (ℤ‘0) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
374372, 373syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
375374ibi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
376375ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 = 0 → 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
377376con1d 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚) → 𝑖 = 0))
378377imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
379371, 378sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
380311oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...𝑚) = ((0 + 1)...𝑚)
381380difeq2i 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) = ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚))
382379, 381eleq2s 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 = 0)
383382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → 𝑖 = 0)
384383iftrued 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = 0)
385384oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · 0))
386 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ (0...𝑚))
387386, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
388347, 387, 149syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
389388mul01d 10273 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · 0) = 0)
390385, 389eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = 0)
391 fzfid 12812 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
392368, 370, 390, 391fsumss 14500 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
393 1m1e0 11127 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 1) = 0
394393oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 1)...(𝑚 − 1)) = (0...(𝑚 − 1))
395394sumeq1i 14472 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
396 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
397396adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
398397, 304syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
399352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
400399, 293syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
401400fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘))
402347adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
403 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
404397, 403syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
405402, 404ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
406404nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
407 expcl 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
408352, 396, 407syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
409405, 406, 408mul12d 10283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘))) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦𝑘))))
410397nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
411 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
412 pncan 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
413410, 411, 412sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
414413oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑦𝑘))
415414oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘)))
416415oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘))))
417406, 405, 408mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦𝑘))))
418409, 416, 4173eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
419398, 401, 4183eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
420 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
421420adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
422421adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
423422, 1syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ (ℤ‘0))
424414, 408eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) ∈ ℂ)
425406, 424mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℂ)
426405, 425mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) ∈ ℂ)
427419, 423, 426fsumser 14505 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
428395, 427syl5eq 2697 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
429366, 392, 4283eqtr3d 2693 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
430429mpteq2dva 4777 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
431 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑚 − 1) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
432431mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑚 − 1) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
43334mptex 6527 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))) ∈ V
434432, 336, 433fvmpt 6321 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
435421, 434syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
436430, 435eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)))
437436mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1))))
4381, 313, 4, 314, 337, 437ulmshft 24189 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))))
439309, 438mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
440184, 439syl5eqbr 4720 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
441 1nn0 11346 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
442441a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 1 ∈ ℕ0)
443 fzfid 12812 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
444171an32s 863 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
445443, 444fsumcl 14508 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
446 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
447445, 446fmptd 6425 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
44832, 34elmap 7928 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
449447, 448sylibr 224 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵))
450 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
451449, 450fmptd 6425 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝐵))
4521, 310, 442, 451ulmres 24187 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) ↔ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))))
453440, 452mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
454181, 453eqbrtrd 4707 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
4551, 3, 4, 38, 48, 123, 454ulmdv 24202 1 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccnv 5142  dom cdm 5143  cres 5145  cima 5146  ccom 5147   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  supcsup 8387  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  seqcseq 12841  cexp 12900  abscabs 14018  cli 14259  Σcsu 14460  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  fldccnfld 19794  Topctop 20746  cnccncf 22726   D cdv 23672  𝑢culm 24175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176
This theorem is referenced by:  pserdv  24228
  Copyright terms: Public domain W3C validator